Numeri finiti decimales dicuntur fractiones decimales, quia diversae sunt repraesentationes fractionum cum decem potentiis in denominatore. sic est:
$$\frac{z}{n} = \frac{q_1}{1} + \frac{q_2}{10} + \dots + \frac{q_k}{10^k}$$
cum \(k \in \mathbb{N}\) & \(q_k\) in \(k-1\) locum -th ad dextram post comma.
Nunc est:
$$\frac{z}{n} = \frac{10^k \cdot q_1 + 10^{k-1} q_2 + \dots + q_k}{10^k} = \frac{10^k \cdot q_1 + 10^{k-1} q_2 + \dots + q_k}{2^k \cdot 5^k}$$
Hoc significat: Si denominator extendi potest ad \(2^k \cdot 5^k\) fractionem generalem in forma omnino abbreviata \(\frac{z}{n}\) , est fractio decimalis finita. . Si primum factorisationem denominatoris spectemus \(n = p_1^{l_1} \cdot \, \dots \, \cdot p_j^{l_j}\) , tum secundum fundamentalem theorematis arithmeticae, hoc exprimi potest. \(f = 2^{km} \cdot 5^{kn}\) ad \(2^k \cdot 5^k\) si \(n = 2^m \cdot 5^n\) . Hoc est:
Solae fractiones, quarum denominatores non habent factores primos praeter 2's vel 5', cum plene abbreviatas effectus in fractione decimali finita.