Οι πεπερασμένοι δεκαδικοί αριθμοί ονομάζονται δεκαδικά κλάσματα, επειδή είναι μια διαφορετική αναπαράσταση για κλάσματα με δυνάμεις δέκα στον παρονομαστή. Έτσι είναι:
$$\frac{z}{n} = \frac{q_1}{1} + \frac{q_2}{10} + \dots + \frac{q_k}{10^k}$$
με \(k \in \mathbb{N}\) και \(q_k\) το \(k-1\) -ο μέρος δεξιά μετά το κόμμα.
Τώρα είναι:
$$\frac{z}{n} = \frac{10^k \cdot q_1 + 10^{k-1} q_2 + \dots + q_k}{10^k} = \frac{10^k \cdot q_1 + 10^{k-1} q_2 + \dots + q_k}{2^k \cdot 5^k}$$
Αυτό σημαίνει: Εάν ο παρονομαστής μπορεί να επεκταθεί σε \(2^k \cdot 5^k\) για ένα γενικό κλάσμα σε μια εντελώς συντομευμένη μορφή \(\frac{z}{n}\) , είναι ένα πεπερασμένο δεκαδικό κλάσμα . Αν λάβουμε υπόψη την πρώτη παραγοντοποίηση του παρονομαστή \(n = p_1^{l_1} \cdot \, \dots \, \cdot p_j^{l_j}\) , τότε σύμφωνα με το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής, αυτό μπορεί να εκφραστεί ως \(f = 2^{km} \cdot 5^{kn}\) έως \(2^k \cdot 5^k\) εάν \(n = 2^m \cdot 5^n\) . Αυτό ισχύει:
Μόνο τα κλάσματα των οποίων οι παρονομαστές δεν έχουν πρώτους παράγοντες εκτός από 2 ή 5 όταν συντομεύονται πλήρως καταλήγουν σε ένα πεπερασμένο δεκαδικό κλάσμα.