Десяткові дроби

Кінцеві десяткові числа називаються десятковими дробами, тому що вони є різним представленням дробів зі степенями десяти в знаменнику. Так і є:

$$\frac{z}{n} = \frac{q_1}{1} + \frac{q_2}{10} + \dots + \frac{q_k}{10^k}$$

з \(k \in \mathbb{N}\) і \(q_k\) \(k-1\) -е місце праворуч після коми.


Зараз є:

$$\frac{z}{n} = \frac{10^k \cdot q_1 + 10^{k-1} q_2 + \dots + q_k}{10^k} = \frac{10^k \cdot q_1 + 10^{k-1} q_2 + \dots + q_k}{2^k \cdot 5^k}$$

Це означає: якщо знаменник можна розширити до \(2^k \cdot 5^k\) для загального дробу в повністю скороченій формі \(\frac{z}{n}\) , це скінченний десятковий дріб . Якщо розглядати розкладку знаменника на прості множники \(n = p_1^{l_1} \cdot \, \dots \, \cdot p_j^{l_j}\) , то згідно з основною теоремою арифметики це можна виразити як \(f = 2^{km} \cdot 5^{kn}\) до \(2^k \cdot 5^k\) якщо \(n = 2^m \cdot 5^n\) . Це стосується:

Тільки дроби, знаменники яких не мають простих множників, окрім 2 чи 5, коли повністю скорочені, створюють кінцевий десятковий дріб.

Назад