Dezimalbrüche

Endliche Dezimalzahlen bezeichnet man als Dezimalbrüche, denn sie sind eine andere Darstellung für Brüche mit Zehnerpotenzen im Nenner. So ist:

$$\frac{z}{n} = \frac{q_1}{1} + \frac{q_2}{10} + \dots + \frac{q_k}{10^k}$$

mit \(k \in \mathbb{N}\) und \(q_k\) der \(k-1\)-ten Stelle rechts nach dem Komma.


Nun ist:

$$\frac{z}{n} = \frac{10^k \cdot q_1 + 10^{k-1} q_2 + \dots + q_k}{10^k} = \frac{10^k \cdot q_1 + 10^{k-1} q_2 + \dots + q_k}{2^k \cdot 5^k}$$

Das bedeutet: Lässt sich für einen allgemeinen Bruch in vollständig gekürzter Form \(\frac{z}{n}\) der Nenner auf \(2^k \cdot 5^k\) erweitern, handelt es sich um einen endlichen Dezimalbruch. Betrachten wir die Primfaktorzerlegung des Nenners \(n = p_1^{l_1} \cdot \, \dots \, \cdot p_j^{l_j}\), lässt sich dieser nach dem Fundamentalsatz der Arithmetik genau dann mit \(f = 2^{k-m} \cdot 5^{k-n}\) zu \(2^k \cdot 5^k\) erweitern, wenn \(n = 2^m \cdot 5^n\) ist. Damit gilt:

Nur Brüche, deren Nenner im vollständig gekürzten Zustand keine anderen Primfaktoren als 2en oder 5en haben, ergeben einen endlichen Dezimalbruch.

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