Decimalaj frakcioj

Finhavaj decimalaj nombroj estas nomitaj decimalaj frakcioj, ĉar ili estas malsama prezento por frakcioj kun potencoj de dek en la denominatoro. Tiel estas:

$$\frac{z}{n} = \frac{q_1}{1} + \frac{q_2}{10} + \dots + \frac{q_k}{10^k}$$

kun \(k \in \mathbb{N}\) kaj \(q_k\) la \(k-1\) --a loko dekstren post la komo.


Nun estas:

$$\frac{z}{n} = \frac{10^k \cdot q_1 + 10^{k-1} q_2 + \dots + q_k}{10^k} = \frac{10^k \cdot q_1 + 10^{k-1} q_2 + \dots + q_k}{2^k \cdot 5^k}$$

Ĉi tio signifas: Se la denominatoro povas esti etendita al \(2^k \cdot 5^k\) por ĝenerala frakcio en tute mallongigita formo \(\frac{z}{n}\) , ĝi estas finhava dekuma frakcio . Se oni konsideras la priman faktorigon de la denominatoro \(n = p_1^{l_1} \cdot \, \dots \, \cdot p_j^{l_j}\) , tiam laŭ la fundamenta teoremo de aritmetiko, tio povas esti esprimita kiel \(f = 2^{km} \cdot 5^{kn}\) al \(2^k \cdot 5^k\) se \(n = 2^m \cdot 5^n\) . Ĉi tio validas:

Nur frakcioj kies denominatoroj havas neniujn primajn faktorojn krom 2 aŭ 5 kiam plene mallongigitaj produktas finian decimalan frakcion.

Reen