Số thập phân hữu hạn được gọi là phân số thập phân, bởi vì chúng là một cách biểu diễn khác cho các phân số có lũy thừa là mười ở mẫu số. Cũng vậy:
$$\frac{z}{n} = \frac{q_1}{1} + \frac{q_2}{10} + \dots + \frac{q_k}{10^k}$$
với \(k \in \mathbb{N}\) và \(q_k\) trí \(k-1\) -th ở bên phải sau dấu phẩy.
Bây giờ là:
$$\frac{z}{n} = \frac{10^k \cdot q_1 + 10^{k-1} q_2 + \dots + q_k}{10^k} = \frac{10^k \cdot q_1 + 10^{k-1} q_2 + \dots + q_k}{2^k \cdot 5^k}$$
Điều này có nghĩa là: Nếu mẫu số có thể được mở rộng thành \(2^k \cdot 5^k\) cho một phân số tổng quát ở dạng viết tắt hoàn toàn \(\frac{z}{n}\) , nó là một phân số thập phân hữu hạn . Nếu chúng ta xem xét sự thừa số nguyên tố của mẫu số \(n = p_1^{l_1} \cdot \, \dots \, \cdot p_j^{l_j}\) , thì theo định lý cơ bản của số học, điều này có thể được biểu thị bằng \(f = 2^{km} \cdot 5^{kn}\) thành \(2^k \cdot 5^k\) nếu \(n = 2^m \cdot 5^n\) . Áp dụng này:
Chỉ những phân số mà mẫu số của nó không có thừa số nguyên tố nào khác với 2 hoặc 5 khi được viết tắt hoàn toàn mới tạo ra một phân số thập phân hữu hạn.