Конечные десятичные числа называются десятичными дробями, потому что они представляют собой другое представление дробей со степенью десяти в знаменателе. Так это:
$$\frac{z}{n} = \frac{q_1}{1} + \frac{q_2}{10} + \dots + \frac{q_k}{10^k}$$
с \(k \in \mathbb{N}\) и \(q_k\) \(k-1\) -м местом справа после запятой.
Сейчас:
$$\frac{z}{n} = \frac{10^k \cdot q_1 + 10^{k-1} q_2 + \dots + q_k}{10^k} = \frac{10^k \cdot q_1 + 10^{k-1} q_2 + \dots + q_k}{2^k \cdot 5^k}$$
Это означает: если знаменатель может быть расширен до \(2^k \cdot 5^k\) для общей дроби в полностью сокращенной форме \(\frac{z}{n}\) , это конечная десятичная дробь . Если мы рассмотрим факторизацию знаменателя на простые множители \(n = p_1^{l_1} \cdot \, \dots \, \cdot p_j^{l_j}\) , то согласно основной теореме арифметики это можно выразить как \(f = 2^{km} \cdot 5^{kn}\) до \(2^k \cdot 5^k\) если \(n = 2^m \cdot 5^n\) . Это относится:
Только дроби, знаменатели которых не имеют простых делителей, кроме 2 или 5 при полном сокращении, дают конечную десятичную дробь.