Ich habe zwei Kinder und einen Sohn, der an einem Donnerstag geboren wurde. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich eine Tochter habe? Bezeichnen wir die Wochentage mit den Zahlen \(1, 2, … , 7\) mit \(1\ =\) Montag, \(2 =\) Dienstag und so weiter. Jetzt können wir das Ereignis als „am Tag \(n\) wurde ein Junge geboren“ als \(B_n\), und ebenso ähnlich für \(G_n\) definieren.
Zum Beispiel bedeutet \(B_3\) ein Junge, der an einem Mittwoch geboren wurde und \(G_1\), dass ein Mädchen an einem Montag geboren wurde. Mit dieser Notation können wir Ereignisse wie schreiben: \(B_3G_1\) bedeutet: „Das erste Kind war ein Junge, der an einem Mittwoch geboren wurde, und das zweite Kind war ein Mädchen, das an einem Montag geboren wurde“.
Nehmen wir an, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kind an jedem Tag der Woche geboren wird, gleich hoch ist (was ebenso wie das Geschlecht des Kindes nicht ganz zutrifft, aber eine vernünftige Annahme ist, um das Problem einfach zu halten). Dies führt zu folgenden \(27\) gleichwahrscheinlichen Möglichkeiten, wie meine Kinder geboren worden sein könnten (\(B_4\) steht stellvertretend für einen am Donnerstag geborenen Jungen):
$$
\begin{matrix}
B_4G_1 & G_1B_4 & B_1B_4 & B_4B_1\\
B_4G_2 & G_2B_4 & B_2B_4 & B_4B_2\\
B_4G_3 & G_3B_4 & B_3B_4 & B_4B_3\\
B_4G_4 & G_4B_4 & B_4B_4 & \\
B_4G_5 & G_5B_4 & B_5B_4 & B_4B_5\\
B_4G_6 & G_4B_4 & B_6B_4 & B_4B_6\\
B_4G_7 & G_7B_4 & B_7B_4 & B_4B_7
\end{matrix}
$$
Die obige Tabelle ist eine vollständige Liste aller Möglichkeiten, wie zwei Kinder geboren werden können, wenn mindestens eines von ihnen ein Junge ist, der an einem Donnerstag geboren wurde. Unter unseren Annahmen sind natürlich alle diese Ereignisse gleich wahrscheinlich. Es gibt \(27\) Möglichkeiten, aus denen \(14\) (die in den ersten beiden Spalten) ein Mädchen enthalten. Die Wahrscheinlichkeit, dass ich also eine Tochter habe, ist also \(14/27\approx 51,9\% \neq 50\%\).