没有介于 0 和 1 之间的整数

不存在(在mathbb{Z}^+\中的n),所以(0 < n < 1)


Beweis: Nehmen wir an, diese Behauptung sei falsch. Dann gibt es ein\(n \in \mathbb{Z}^+\), so dass\(0 < n < 1\). Betrachten wir die Menge\(S := \{ m \in \mathbb{Z}^+ : 0 < m < 1 \}\). Da\( n \in S\), ist\(S\)nicht-leer. Nach dem Wohlordnungsprinzip (jede nicht-leere Teilmenge von\(\mathbb{Z}^+\)hat ein kleinstes Element) muss\(S\)ein kleinstes Element haben, nämlich\(b := min(S)\). Dann ist\(b \in S\), das heißt\(b \in \mathbb{Z}^+\)und\(0 < b < 1\). Eine positive ganze Zahl multipliziert mit einer positiven ganzen Zahl ergibt eine positive ganze Zahl, also\(b^2 \in \mathbb{Z}^+\). Multipliziert man\(b\)mit\(0<b<1\), so erhält man\(0<b^2<b\), so dass\(0<b^2<1\)– mithin\(b^2 \in S\). Da aber\(b = min(S)\), haben wir\(b \leq b^2\), was\(b^2 < b\)widerspricht. Damit ist nach Widerspruchsbeweis die Behauptung wahr.

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