There is no \(n \in \mathbb{Z}^+\), so that \(0 < n < 1\).
Beweis: Nehmen wir an, diese Behauptung sei falsch. Dann gibt es ein \(n \in \mathbb{Z}^+\), so dass \(0 < n < 1\). Betrachten wir die Menge \(S := \{ m \in \mathbb{Z}^+ : 0 < m < 1 \}\). Da \( n \in S\), ist \(S\) nicht-leer. Nach dem Wohlordnungsprinzip (jede nicht-leere Teilmenge von \(\mathbb{Z}^+\) hat ein kleinstes Element) muss \(S\) ein kleinstes Element haben, nämlich \(b := min(S)\). Dann ist \(b \in S\), das heißt \(b \in \mathbb{Z}^+\) und \(0 < b < 1\). Eine positive ganze Zahl multipliziert mit einer positiven ganzen Zahl ergibt eine positive ganze Zahl, also \(b^2 \in \mathbb{Z}^+\). Multipliziert man \(b\) mit \(0<b<1\), so erhält man \(0<b^2<b\), so dass \(0<b^2<1\) – mithin \(b^2 \in S\). Da aber \(b = min(S)\), haben wir \(b \leq b^2\), was \(b^2 < b\) widerspricht. Damit ist nach Widerspruchsbeweis die Behauptung wahr.