Non esiste \( n \ in \mathbb{Z}^+\), in modo che \ (0 < n < 1\).
Dimostrazione: Supponiamo che questa affermazione sia falsa. Allora esiste un \(n \in \mathbb{Z}^+\) tale che \(0 < n < 1\) . Consideriamo l'insieme \(S := \{ m \in \mathbb{Z}^+ : 0 < m < 1 \}\) . Poiché \( n \in S\) , \(S\) non è vuoto. Secondo il principio del buon ordinamento (ogni sottoinsieme non vuoto di \(\mathbb{Z}^+\) ha un elemento più piccolo) \(S\) deve avere un elemento più piccolo, vale a dire \(b := min(S)\) . Quindi \(b \in S\) , cioè \(b \in \mathbb{Z}^+\) e \(0 < b < 1\) . Un intero positivo moltiplicato per un intero positivo dà un intero positivo, quindi \(b^2 \in \mathbb{Z}^+\) . Se moltiplichi \(b\) per \(0<b<1\) , ottieni \(0<b^2<b\) , quindi \(0<b^2<1\) - quindi \(b^2 \in S\) . Ma poiché \(b = min(S)\) , abbiamo \(b \leq b^2\) , che contraddice \(b^2 < b\) . Quindi, dopo la prova per contraddizione, l’affermazione è vera.