Er is geen ¨n in ¨mathbb{Z}^+¨), zodat ¨0 < n < 1¨.
Bewijs: Laten we aannemen dat deze bewering onjuist is. Dan is er een \(n \in \mathbb{Z}^+\) zodat \(0 < n < 1\) . Laten we de verzameling \(S := \{ m \in \mathbb{Z}^+ : 0 < m < 1 \}\) bekijken. Omdat \( n \in S\) , is \(S\) niet leeg. Volgens het welordeningsprincipe (elke niet-lege deelverzameling van \(\mathbb{Z}^+\) heeft een kleinste element) \(S\) een kleinste element hebben, namelijk \(b := min(S)\) . Dan \(b \in S\) , dat wil zeggen \(b \in \mathbb{Z}^+\) en \(0 < b < 1\) . Een positief geheel getal vermenigvuldigd met een positief geheel getal geeft een positief geheel getal, dus \(b^2 \in \mathbb{Z}^+\) . Als je \(b\) vermenigvuldigt met \(0<b<1\) , krijg je \(0<b^2<b\) , zodat \(0<b^2<1\) - dus \(b^2 \in S\) . Maar aangezien \(b = min(S)\) , hebben we \(b \leq b^2\) , wat in tegenspraak is met \(b^2 < b\) . Dus na bewijs door tegenspraak is de bewering waar.