Nu există \(n \in \mathbb{Z}^+\) astfel încât \(0 < n < 1\) .
Dovada: Să presupunem că această afirmație este falsă. Atunci există un \(n \in \mathbb{Z}^+\) astfel încât \(0 < n < 1\) . Să considerăm mulțimea \(S := \{ m \in \mathbb{Z}^+ : 0 < m < 1 \}\) . Deoarece \( n \in S\) , \(S\) este nevid. Conform principiului de bine ordonare (fiecare submulțime nevidă a \(\mathbb{Z}^+\) are un element cel mai mic), \(S\) trebuie să aibă cel mai mic element și anume \(b := min(S)\) . Atunci \(b \in S\) , adică \(b \in \mathbb{Z}^+\) și \(0 < b < 1\) . Un număr întreg pozitiv înmulțit cu un întreg pozitiv dă un număr întreg pozitiv, deci \(b^2 \in \mathbb{Z}^+\) . Dacă înmulțiți \(b\) cu \(0<b<1\) , obțineți \(0<b^2<b\) , astfel încât \(0<b^2<1\) - prin urmare \(b^2 \in S\) . Dar din moment ce \(b = min(S)\) , avem \(b \leq b^2\) , ceea ce contrazice \(b^2 < b\) . Astfel, după dovedirea prin contradicție, afirmația este adevărată.