Nie istnieje \ (n \w \mathbb{Z}^+\), więc \ (0 < n < 1\).
Dowód: Załóżmy, że twierdzenie to jest fałszywe. Następnie istnieje \(n \in \mathbb{Z}^+\) takie, że \(0 < n < 1\) . Rozważmy zbiór \(S := \{ m \in \mathbb{Z}^+ : 0 < m < 1 \}\) . Ponieważ \( n \in S\) , \(S\) nie jest puste. Zgodnie z zasadą dobrego uporządkowania (każdy niepusty podzbiór \(\mathbb{Z}^+\) ma najmniejszy element) \(S\) musi mieć najmniejszy element, mianowicie \(b := min(S)\) . Następnie \(b \in S\) , czyli \(b \in \mathbb{Z}^+\) i \(0 < b < 1\) . Dodatnia liczba całkowita pomnożona przez dodatnią liczbę całkowitą daje dodatnią liczbę całkowitą, więc \(b^2 \in \mathbb{Z}^+\) . Jeśli pomnożysz \(b\) przez \(0<b<1\) , otrzymasz \(0<b^2<b\) , więc \(0<b^2<1\) - zatem \(b^2 \in S\) . Ale ponieważ \(b = min(S)\) , mamy \(b \leq b^2\) , co jest sprzeczne z \(b^2 < b\) . Zatem po udowodnieniu przez sprzeczność twierdzenie jest prawdziwe.