Δεν υπάρχει \(n \in \mathbb{Z}^+\) τέτοιο ώστε \(0 < n < 1\) .
Απόδειξη: Ας υποθέσουμε ότι αυτός ο ισχυρισμός είναι ψευδής. Τότε υπάρχει ένα \(n \in \mathbb{Z}^+\) τέτοιο ώστε \(0 < n < 1\) . Ας θεωρήσουμε το σύνολο \(S := \{ m \in \mathbb{Z}^+ : 0 < m < 1 \}\) . Εφόσον \( n \in S\) , \(S\) δεν είναι κενό. Σύμφωνα με την αρχή της καλής διάταξης (κάθε μη κενό υποσύνολο του \(\mathbb{Z}^+\) έχει ένα μικρότερο στοιχείο), \(S\) πρέπει να έχει ένα μικρότερο στοιχείο, δηλαδή \(b := min(S)\) . Τότε \(b \in S\) , δηλαδή \(b \in \mathbb{Z}^+\) και \(0 < b < 1\) . Ένας θετικός ακέραιος πολλαπλασιαζόμενος με έναν θετικό ακέραιο δίνει έναν θετικό ακέραιο, άρα \(b^2 \in \mathbb{Z}^+\) . Εάν πολλαπλασιάσετε \(b\) με \(0<b<1\) , θα λάβετε \(0<b^2<b\) , έτσι ώστε \(0<b^2<1\) - επομένως \(b^2 \in S\) . Επειδή όμως \(b = min(S)\) , έχουμε \(b \leq b^2\) , το οποίο έρχεται σε αντίθεση με \(b^2 < b\) . Έτσι, μετά από απόδειξη με αντίφαση, ο ισχυρισμός είναι αληθής.