لا يوجد \(n \in \mathbb{Z}^+\) بحيث \(0 < n < 1\) .
الدليل: لنفترض أن هذا الادعاء باطل. ثم هناك \(n \in \mathbb{Z}^+\) بحيث \(0 < n < 1\) . لنفكر في المجموعة \(S := \{ m \in \mathbb{Z}^+ : 0 < m < 1 \}\) . نظرًا لأن \( n \in S\) ، \(S\) غير فارغ. وفقًا لمبدأ الترتيب الجيد (كل مجموعة فرعية غير فارغة من \(\mathbb{Z}^+\) تحتوي على أصغر عنصر)، \(S\) يجب أن تحتوي على أصغر عنصر، وهو \(b := min(S)\) . ثم \(b \in S\) ، أي \(b \in \mathbb{Z}^+\) و \(0 < b < 1\) . العدد الصحيح الموجب مضروبًا في عدد صحيح موجب يعطي عددًا صحيحًا موجبًا، لذلك \(b^2 \in \mathbb{Z}^+\) . إذا ضربت \(b\) في \(0<b<1\) ، فستحصل على \(0<b^2<b\) ، بحيث \(0<b^2<1\) - لذلك \(b^2 \in S\) . لكن بما أن \(b = min(S)\) ، لدينا \(b \leq b^2\) ، وهو ما يتعارض مع \(b^2 < b\) . وعلى هذا فبعد إثبات التناقض يكون القول صحيحاً.