Det finns ingen \(n \in \mathbb{Z}^+\) så att \(0 < n < 1\) .
Bevis: Låt oss anta att detta påstående är falskt. Sedan finns det ett \(n \in \mathbb{Z}^+\) så att \(0 < n < 1\) . Låt oss betrakta mängden \(S := \{ m \in \mathbb{Z}^+ : 0 < m < 1 \}\) . Eftersom \( n \in S\) , är \(S\) icke-tom. Enligt välordningsprincipen (varje icke-tom delmängd av \(\mathbb{Z}^+\) har ett minsta element), måste \(S\) ha ett minsta element, nämligen \(b := min(S)\) . Sedan \(b \in S\) , det vill säga \(b \in \mathbb{Z}^+\) och \(0 < b < 1\) . Ett positivt heltal multiplicerat med ett positivt heltal ger ett positivt heltal, så \(b^2 \in \mathbb{Z}^+\) . Om du multiplicerar \(b\) med \(0<b<1\) , får du \(0<b^2<b\) , så att \(0<b^2<1\) - därför \(b^2 \in S\) . Men eftersom \(b = min(S)\) har vi \(b \leq b^2\) , vilket motsäger \(b^2 < b\) . Således, efter bevis genom motsägelse, är påståendet sant.