Không có \(n \in \mathbb{Z}^+\) sao cho \(0 < n < 1\) .
Chứng minh: Giả sử khẳng định này là sai. Sau đó, có một \(n \in \mathbb{Z}^+\) sao cho \(0 < n < 1\) . Hãy xem xét tập hợp \(S := \{ m \in \mathbb{Z}^+ : 0 < m < 1 \}\) . Vì \( n \in S\) , \(S\) không trống. Theo nguyên tắc sắp xếp thứ tự tốt (mọi tập con không trống của \(\mathbb{Z}^+\) đều có phần tử nhỏ nhất), \(S\) phải có phần tử nhỏ nhất, cụ thể là \(b := min(S)\) . Sau đó \(b \in S\) , đó là \(b \in \mathbb{Z}^+\) và \(0 < b < 1\) . Một số nguyên dương nhân với một số nguyên dương sẽ cho ra một số nguyên dương, vì vậy \(b^2 \in \mathbb{Z}^+\) . Nếu bạn nhân \(b\) với \(0<b<1\) , bạn nhận được \(0<b^2<b\) , do đó \(0<b^2<1\) - do đó \(b^2 \in S\) . Nhưng vì \(b = min(S)\) , chúng ta có \(b \leq b^2\) , điều này mâu thuẫn với \(b^2 < b\) . Như vậy, sau khi chứng minh bằng phản chứng thì khẳng định là đúng.