Tidak ada \(n \in \mathbb{Z}^+\) sehingga \(0 < n < 1\) .
Bukti: Mari kita berasumsi bahwa klaim ini salah. Lalu ada \(n \in \mathbb{Z}^+\) sehingga \(0 < n < 1\) . Mari kita perhatikan himpunan \(S := \{ m \in \mathbb{Z}^+ : 0 < m < 1 \}\) . Karena \( n \in S\) , \(S\) tidak kosong. Berdasarkan prinsip tertata rapi (setiap himpunan bagian tak kosong dari \(\mathbb{Z}^+\) mempunyai elemen terkecil), \(S\) harus mempunyai elemen terkecil, yaitu \(b := min(S)\) . Kemudian \(b \in S\) , yaitu \(b \in \mathbb{Z}^+\) dan \(0 < b < 1\) . Bilangan bulat positif dikalikan dengan bilangan bulat positif menghasilkan bilangan bulat positif, jadi \(b^2 \in \mathbb{Z}^+\) . Jika Anda mengalikan \(b\) dengan \(0<b<1\) , Anda mendapatkan \(0<b^2<b\) , sehingga \(0<b^2<1\) - oleh karena itu \(b^2 \in S\) . Tapi karena \(b = min(S)\) , kita punya \(b \leq b^2\) , yang bertentangan \(b^2 < b\) . Jadi, setelah dibuktikan dengan kontradiksi, pernyataan tersebut benar.