Не існує такого \(n \in \mathbb{Z}^+\) що \(0 < n < 1\) .
Доказ: припустимо, що це твердження хибне. Тоді існує таке \(n \in \mathbb{Z}^+\) , що \(0 < n < 1\) . Розглянемо множину \(S := \{ m \in \mathbb{Z}^+ : 0 < m < 1 \}\) . Оскільки \( n \in S\) , \(S\) є непорожнім. Відповідно до принципу правильного впорядкування (кожна непорожня підмножина \(\mathbb{Z}^+\) має найменший елемент), \(S\) повинен мати найменший елемент, а саме \(b := min(S)\) . Тоді \(b \in S\) , тобто \(b \in \mathbb{Z}^+\) і \(0 < b < 1\) . Додатне ціле число, помножене на додатне ціле, дає натуральне число, тому \(b^2 \in \mathbb{Z}^+\) . Якщо ви помножите \(b\) на \(0<b<1\) , ви отримаєте \(0<b^2<b\) , так що \(0<b^2<1\) - тому \(b^2 \in S\) . Але оскільки \(b = min(S)\) , ми маємо \(b \leq b^2\) , що суперечить \(b^2 < b\) . Таким чином, після доказу від протилежності твердження є істинним.