কোনো \(n \in \mathbb{Z}^+\) যেমন \(0 < n < 1\) নেই।
প্রমাণ: আসুন আমরা ধরে নিই যে এই দাবিটি মিথ্যা। তারপর একটি \(n \in \mathbb{Z}^+\) যেমন \(0 < n < 1\) আছে। আসুন সেটটি বিবেচনা করি \(S := \{ m \in \mathbb{Z}^+ : 0 < m < 1 \}\) । যেহেতু \( n \in S\) , \(S\) খালি নয়। সু-ক্রম নীতি অনুসারে ( \(\mathbb{Z}^+\) এর প্রতিটি অ-খালি উপসেটের একটি ক্ষুদ্রতম উপাদান রয়েছে), \(S\) একটি ক্ষুদ্রতম উপাদান থাকতে হবে, যথা \(b := min(S)\) । তারপর \(b \in S\) , অর্থাৎ \(b \in \mathbb{Z}^+\) এবং \(0 < b < 1\) । একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাকে একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা দ্বারা গুণ করলে একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা পাওয়া যায়, তাই \(b^2 \in \mathbb{Z}^+\) । যদি আপনি \(b\) \(0<b<1\) দিয়ে গুণ করেন, তাহলে আপনি \(0<b^2<b\) পাবেন, যাতে \(0<b^2<1\) - তাই \(b^2 \in S\) । কিন্তু যেহেতু \(b = min(S)\) , আমাদের কাছে \(b \leq b^2\) আছে, যা বিরোধিতা করে \(b^2 < b\) । সুতরাং, দ্বন্দ্ব দ্বারা প্রমাণের পরে, দাবিটি সত্য।