هیچ \(n \in \mathbb{Z}^+\) وجود ندارد که \(0 < n < 1\) .
اثبات: فرض کنیم این ادعا نادرست است. سپس یک \(n \in \mathbb{Z}^+\) وجود دارد که \(0 < n < 1\) . بیایید مجموعه \(S := \{ m \in \mathbb{Z}^+ : 0 < m < 1 \}\) را در نظر بگیریم. از آنجایی که \( n \in S\) ، \(S\) خالی نیست. طبق اصل ترتیب خوب (هر زیر مجموعه غیر خالی \(\mathbb{Z}^+\) دارای کوچکترین عنصر است)، \(S\) باید کوچکترین عنصر را داشته باشد، یعنی \(b := min(S)\) . سپس \(b \in S\) ، یعنی \(b \in \mathbb{Z}^+\) و \(0 < b < 1\) . یک عدد صحیح مثبت ضرب در یک عدد صحیح مثبت یک عدد صحیح مثبت می دهد، بنابراین \(b^2 \in \mathbb{Z}^+\) . اگر \(b\) در \(0<b<1\) ضرب کنید، \(0<b^2<b\) را بدست می آورید، به طوری که \(0<b^2<1\) - بنابراین \(b^2 \in S\) . اما از آنجایی که \(b = min(S)\) ، \(b \leq b^2\) داریم که \(b^2 < b\) در تضاد است. بنابراین، پس از اثبات با تناقض، ادعا صادق است.