Не существует \ (n \в \mathbb{Z}^+\), чтобы \ (0 < n < 1\).
Доказательство: Предположим, что это утверждение неверно. Тогда существует \(n \in \mathbb{Z}^+\) такой, что \(0 < n < 1\) . Давайте рассмотрим множество \(S := \{ m \in \mathbb{Z}^+ : 0 < m < 1 \}\) . Поскольку \( n \in S\) , \(S\) не пусто. В соответствии с принципом хорошего порядка (каждое непустое подмножество \(\mathbb{Z}^+\) имеет наименьший элемент) \(S\) должно иметь наименьший элемент, а именно \(b := min(S)\) . Тогда \(b \in S\) , то есть \(b \in \mathbb{Z}^+\) и \(0 < b < 1\) . Положительное целое число, умноженное на положительное целое число, дает положительное целое число, поэтому \(b^2 \in \mathbb{Z}^+\) . Если вы умножите \(b\) на \(0<b<1\) , вы получите \(0<b^2<b\) , так что \(0<b^2<1\) - следовательно, \(b^2 \in S\) . Но поскольку \(b = min(S)\) , мы имеем \(b \leq b^2\) , что противоречит \(b^2 < b\) . Таким образом, после доказательства от противного утверждение верно.