Nulla est \(n \in \mathbb{Z}^+\) ita ut \(0 < n < 1\) .
Probatur: Ponamus hanc esse falsam. Tunc est \(n \in \mathbb{Z}^+\) ita ut \(0 < n < 1\) . Consideremus statutum \(S := \{ m \in \mathbb{Z}^+ : 0 < m < 1 \}\) . Quoniam \( n \in S\) \(S\) non vacua est. Secundum principium bene ordinatum (omnis pars non vacua ex \(\mathbb{Z}^+\) elementum minimum habet), elementum minimum \(S\) habere debet, nempe \(b := min(S)\) . Inde \(b \in S\) , id est \(b \in \mathbb{Z}^+\) & \(0 < b < 1\) . Integrum positiuum per integrum positiuum multiplicatum dat integrum positiuum, ut \(b^2 \in \mathbb{Z}^+\) . Si multiplicaveris \(b\) per \(0<b<1\) , habebis \(0<b^2<b\) , ut \(0<b^2<1\) - ergo \(b^2 \in S\) . Sed quia \(b = min(S)\) habemus \(b \leq b^2\) , quod contradicit \(b^2 < b\) . Et sic, post probationem contradictionis, vera est enunciatio.