ऐसा कोई \(n \in \mathbb{Z}^+\) नहीं है कि \(0 < n < 1\) ।
सबूत: चलिए मान लेते हैं कि ये दावा ग़लत है. फिर एक \(n \in \mathbb{Z}^+\) ऐसा है कि \(0 < n < 1\) । आइए सेट \(S := \{ m \in \mathbb{Z}^+ : 0 < m < 1 \}\) पर विचार करें। चूँकि \( n \in S\) , \(S\) गैर-रिक्त है। सुव्यवस्थित सिद्धांत के अनुसार ( \(\mathbb{Z}^+\) के प्रत्येक गैर-रिक्त उपसमुच्चय में एक सबसे छोटा तत्व होता है), \(S\) एक सबसे छोटा तत्व होना चाहिए, अर्थात् \(b := min(S)\) । फिर \(b \in S\) , यानी \(b \in \mathbb{Z}^+\) और \(0 < b < 1\) । एक धनात्मक पूर्णांक को एक धनात्मक पूर्णांक से गुणा करने पर एक धनात्मक पूर्णांक प्राप्त होता है, इसलिए \(b^2 \in \mathbb{Z}^+\) । यदि आप \(b\) \(0<b<1\) से गुणा करते हैं, तो आपको \(0<b^2<b\) मिलता है, ताकि \(0<b^2<1\) - इसलिए \(b^2 \in S\) . लेकिन चूँकि \(b = min(S)\) , हमारे पास \(b \leq b^2\) है, जो \(b^2 < b\) का खंडन करता है। इस प्रकार, विरोधाभास द्वारा प्रमाण के बाद, दावा सत्य है।