Il n'y a pas de \ (n \ dans \mathbb{Z}^+\), donc \ (0 < n < 1\).
Preuve : Supposons que cette affirmation soit fausse. Alors il y a un \(n \in \mathbb{Z}^+\) tel que \(0 < n < 1\) . Considérons l'ensemble \(S := \{ m \in \mathbb{Z}^+ : 0 < m < 1 \}\) . Puisque \( n \in S\) , \(S\) n'est pas vide. Selon le principe de bon ordre (chaque sous-ensemble non vide de \(\mathbb{Z}^+\) a un plus petit élément) \(S\) doit avoir un plus petit élément, à savoir \(b := min(S)\) . Alors \(b \in S\) , c'est-à-dire \(b \in \mathbb{Z}^+\) et \(0 < b < 1\) . Un entier positif multiplié par un entier positif donne un entier positif, donc \(b^2 \in \mathbb{Z}^+\) . Si vous multipliez \(b\) par \(0<b<1\) , vous obtenez \(0<b^2<b\) , de sorte que \(0<b^2<1\) - donc \(b^2 \in S\) . Mais puisque \(b = min(S)\) , nous avons \(b \leq b^2\) , ce qui contredit \(b^2 < b\) . Ainsi, après preuve par contradiction, l’affirmation est vraie.