Betrakta två personer \(A\) och \(B\) som inte har samma födelsedag, där \(A\) är yngre än \(B\) . Visa: Det finns exakt två ålderskonstellationer \(a,b \in \mathbb{N}\) för vilka följande gäller: \(2\cdot a = b\) . Vi satte först \(d \in \mathbb{R}^+\) som åldersskillnaden mellan \(A\) och \(B\) vid födelsen av \(A\) med \( d = d_0 + d_1 \) , \( d_0 \in \mathbb{N}_0, d_1 \in \mathbb{R}, d_1 \in [0;1[\) Vi betraktar nu en godtycklig tid \(x \in \mathbb{R}^+\) efter födelsen av \(A\) med \(x = x_0 + x_1\) , \(x_0 \in \mathbb{N}_0, x_1 \in \mathbb{R}, x_1 \in [0;1[\) .
Vid denna tidpunkt, per definition, \(a = \lfloor x \rfloor \) och \(b = \lfloor x+d \rfloor\) . Vi bestämmer nu alla \(x\) som gäller:
$$2 \lfloor x \rfloor = \lfloor x+d \rfloor \Leftrightarrow 2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor$$
1: a fallet: \(0 \leq x_1 + d_1 < 1\):
Därefter $$2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor \Leftrightarrow 2 x_0 = x_0 + d_0 \Leftrightarrow x_0 = d_0.$$
Detta betyder att $$a = \lfloor x \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor d_0 + x_1 \rfloor = d_0$$ och $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ den första önskade ålderskonstellationen.
2: a fallet: \( 1 \leq x_1 + d_1 < 2 \):
Därefter $$2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{\geq 1} \rfloor \Leftrightarrow 2 x_0 = x_0 + d_0 + 1 \Leftrightarrow x_0 = d_0 + 1.$$
Det betyder att $$a = \lfloor x \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor d_0 + 1 + x_1 \rfloor = d_0 + 1$$ och $$b = \lfloor x+d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + 1 + \underbrace{x_1 + d_1}_{\geq 1} \rfloor = 2 d_0 + 2$$ den andra önskade ålderskonstellationen.
Konkret betyder det till exempel: Om din mamma födde dig vid \(20\) års ålder är hon exakt dubbelt så gammal som du vid \(40\) och \(42\) . Fallet om och när din mamma är \(n\) gånger så gammal är också intressant: Här ställer du \(n \in \mathbb{N}\) godtyckligt och får \(x_0 = \frac{d_0}{n-1} \in \mathbb{N} \Leftrightarrow d_0 = k (n-1)\) . Detta fungerar om och endast om heltalsskillnaden \( \lfloor d \rfloor = d_0 \) är en multipel av \(n-1\) . Till exempel, i ovanstående fall är din mamma \(24\) år \(6\) gånger din ålder.