Tänk på två personer \(A\) och \(B\) som inte är födda samma dag och \(A\) yngre än \(B\) . Visa: Det finns exakt två ålderskonstellationer \(a,b \in \mathbb{N}\) , för vilka gäller: \(2\cdot a = b\) . Vi ställer först in \(d \in \mathbb{R}^+\) som åldersskillnad mellan \(A\) och \(B\) vid födelsen av \(A\) med \( d = d_0 + d_1 \) , \( d_0 \in \mathbb{N}_0, d_1 \in \mathbb{R}, d_1 \in [0;1[\) . Vi betraktar nu en godtycklig tidpunkt \(x \in \mathbb{R}^+\) efter födelsen av \(A\) med \(x = x_0 + x_1\) , \(x_0 \in \mathbb{N}_0, x_1 \in \mathbb{R}, x_1 \in [0;1[\) .
Vid denna tidpunkt, per definition, \(a = \lfloor x \rfloor \) och \(b = \lfloor x+d \rfloor\) . Vi bestämmer nu alla \(x\) som gäller:
$$2 \lfloor x \rfloor = \lfloor x+d \rfloor \Leftrightarrow 2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor$$
1: a fallet: \(0 \leq x_1 + d_1 < 1\):
Därefter $$2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor \Leftrightarrow 2 x_0 = x_0 + d_0 \Leftrightarrow x_0 = d_0.$$
Detta betyder att $$a = \lfloor x \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor d_0 + x_1 \rfloor = d_0$$ och $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ den första önskade ålderskonstellationen.
2: a fallet: \( 1 \leq x_1 + d_1 < 2 \):
Därefter $$2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{\geq 1} \rfloor \Leftrightarrow 2 x_0 = x_0 + d_0 + 1 \Leftrightarrow x_0 = d_0 + 1.$$
Det betyder att $$a = \lfloor x \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor d_0 + 1 + x_1 \rfloor = d_0 + 1$$ och $$b = \lfloor x+d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + 1 + \underbrace{x_1 + d_1}_{\geq 1} \rfloor = 2 d_0 + 2$$ den andra önskade ålderskonstellationen.
Specifikt betyder det till exempel: Om din mamma födde dig vid en ålder av \(20\) år är hon exakt dubbelt så stor som din ålder vid \(40\) och \(42\) år. Det är också intressant om och när hon är \(n\) gånger så gammal: Här \(n \in \mathbb{N}\) godtyckligt och vi får \(x_0 = \frac{d_0}{n-1} \in \mathbb{N} \Leftrightarrow d_0 = k (n-1)\) . Detta fungerar exakt när heltalets åldersskillnad \( \lfloor d \rfloor = d_0 \) en multipel av \(n-1\) , till exempel i ovanstående fall är din mamma \(24\) år \(6\) gånger din ålder.