Man betrachte zwei Personen \(A\) und \(B\), die nicht am selben Tag Geburtstag haben und \(A\) jünger als \(B\) ist. Man zeige: Es gibt genau zwei Alterskonstellationen \(a,b \in \mathbb{N}\), für die gilt: \(2\cdot a = b\). Wir setzen zunächst \(d \in \mathbb{R}^+\) als den Altersunterschied von \(A\) und \(B\) bei der Geburt von \(A\) mit \( d = d_0 + d_1 \), \( d_0 \in \mathbb{N}_0, d_1 \in \mathbb{R}, d_1 \in [0;1[\). Wir betrachten nun einen beliebigen Zeitpunkt \(x \in \mathbb{R}^+\) nach der Geburt von \(A\) mit \(x = x_0 + x_1\), \(x_0 \in \mathbb{N}_0, x_1 \in \mathbb{R}, x_1 \in [0;1[\).
Zu diesem Zeitpunkt ist nach Definition \(a = \lfloor x \rfloor \) und \(b = \lfloor x+d \rfloor\). Wir bestimmen nun alle \(x\), für die gilt:
$$2 \lfloor x \rfloor = \lfloor x+d \rfloor \Leftrightarrow 2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor$$
1. Fall: \(0 \leq x_1 + d_1 < 1\):
Dann ist $$2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor \Leftrightarrow 2 x_0 = x_0 + d_0 \Leftrightarrow x_0 = d_0.$$
Damit ist $$a = \lfloor x \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor d_0 + x_1 \rfloor = d_0$$ sowie $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ die erste gesuchte Alterskonstellation.
2. Fall: \( 1 \leq x_1 + d_1 < 2 \):
Dann ist $$2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{\geq 1} \rfloor \Leftrightarrow 2 x_0 = x_0 + d_0 + 1 \Leftrightarrow x_0 = d_0 + 1.$$
Damit ist $$a = \lfloor x \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor d_0 + 1 + x_1 \rfloor = d_0 + 1$$ sowie $$b = \lfloor x+d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + 1 + \underbrace{x_1 + d_1}_{\geq 1} \rfloor = 2 d_0 + 2$$ die zweite gesuchte Alterskonstellation.
Das bedeutet beispielsweise konkret: Hat Ihre Mutter Sie im Alter von \(20\) Jahren zur Welt gebracht, ist sie genau mit \(40\) sowie \(42\) Jahren doppelt so alt wie Sie. Interessant ist auch der Fall, ob und wann Sie \(n\)-mal so alt ist: Hier setzt man \(n \in \mathbb{N}\) beliebig und erhält \(x_0 = \frac{d_0}{n-1} \in \mathbb{N} \Leftrightarrow d_0 = k (n-1)\). Dies geht also genau dann, wenn der ganzzahlige Altersunterschied \( \lfloor d \rfloor = d_0 \) ein Vielfaches von \(n-1\) ist, also beispielsweise im oberen Fall ist Ihre Mutter mit \(24\) Jahren \(6\)-mal so alt wie Sie.