দুইজন লোক \(A\) এবং \(B\) যাদের একই জন্মদিন নেই, যেখানে \(A\) \(B\) এর চেয়ে ছোট। দেখান: ঠিক দুটি বয়সের নক্ষত্র রয়েছে \(a,b \in \mathbb{N}\) যার জন্য নিম্নলিখিতটি প্রযোজ্য: \(2\cdot a = b\) । আমরা প্রথমে \(d \( d = d_0 + d_1 \) \(d \in \mathbb{R}^+\) \( d_0 \in \mathbb{N}_0, d_1 \in \mathbb{R}, d_1 \in [0;1[\) \in \ \(A\) \) এবং \(B\) এর জন্মের সময় \(A\) এবং \(B\) বয়সের পার্থক্য হিসাবে প্রথমে সেট করেছি। আমরা এখন \( \(x = x_0 + x_1\) , \(x_0 \(x \in \mathbb{R}^+\) in \mathbb {R}, x_1 \in [0;1[\) দিয়ে \(A\) \(x_0 \in \mathbb{N}_0, x_1 \in \mathbb{R}, x_1 \in [0;1[\) ।
এই সময়ে সময়ে, সংজ্ঞা অনুসারে, \(a = \lfloor x \rfloor \) এবং \(b = \lfloor x+d \rfloor\) । আমরা এখন সমস্ত determine \(x\) নির্ধারণ করি যার জন্য এটি রয়েছে:
$$2 \lfloor x \rfloor = \lfloor x+d \rfloor \Leftrightarrow 2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor$$
1 ম কেস: \(0 \leq x_1 + d_1 < 1\):
তারপরে $$2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor \Leftrightarrow 2 x_0 = x_0 + d_0 \Leftrightarrow x_0 = d_0.$$
এর অর্থ হ'ল $$a = \lfloor x \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor d_0 + x_1 \rfloor = d_0$$ এবং $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ প্রথম বয়সের $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ ।
২ য় কেস: \( 1 \leq x_1 + d_1 < 2 \):
তারপরে $$2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{\geq 1} \rfloor \Leftrightarrow 2 x_0 = x_0 + d_0 + 1 \Leftrightarrow x_0 = d_0 + 1.$$
এর অর্থ হ'ল $$a = \lfloor x \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor d_0 + 1 + x_1 \rfloor = d_0 + 1$$ এবং $$b = \lfloor x+d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + 1 + \underbrace{x_1 + d_1}_{\geq 1} \rfloor = 2 d_0 + 2$$ $$a = \lfloor x \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor d_0 + 1 + x_1 \rfloor = d_0 + 1$$ $$b = \lfloor x+d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + 1 + \underbrace{x_1 + d_1}_{\geq 1} \rfloor = 2 d_0 + 2$$ দ্বিতীয় পছন্দসই বয়সের নক্ষত্রমণ্ডল।
কংক্রিট পরিভাষায়, এর অর্থ হল, উদাহরণস্বরূপ: আপনার মা যদি \(20\) বয়সে আপনাকে জন্ম দেন, তবে তিনি আপনার থেকে ঠিক দ্বিগুণ বয়সী \(40\) এবং \(42\) । আপনার মায়ের বয়স \(n\) বার হয় কিনা তাও আকর্ষণীয়: এখানে আপনি নির্বিচারে \(n \in \mathbb{N}\) সেট করুন এবং \(x_0 = \frac{d_0}{n-1} \in \mathbb{N} \Leftrightarrow d_0 = k (n-1)\) পাবেন। এটি কাজ করে যদি এবং শুধুমাত্র যদি পূর্ণসংখ্যার বয়সের পার্থক্য \( \lfloor d \rfloor = d_0 \) \(n-1\) এর একাধিক হয়। উদাহরণস্বরূপ, উপরের ক্ষেত্রে, আপনার মায়ের বয়স \(24\) বছর \(6\) আপনার বয়সের গুণ।