Σκεφτείτε δύο άτομα \(A\) και \(B\) που δεν έχουν τα ίδια γενέθλια, όπου \(A\) είναι μικρότερο από \(B\) . Εμφάνιση: Υπάρχουν ακριβώς δύο ηλικιακοί αστερισμοί \(a,b \in \mathbb{N}\) για τους οποίους ισχύουν τα εξής: \(2\cdot a = b\) . Αρχικά ορίσαμε \(d \in \mathbb{R}^+\) ως τη διαφορά ηλικίας μεταξύ \(A\) και \(B\) κατά τη γέννηση του \(A\) με \( d = d_0 + d_1 \) , \( d_0 \in \mathbb{N}_0, d_1 \in \mathbb{R}, d_1 \in [0;1[\) Θεωρούμε τώρα έναν αυθαίρετο χρόνο \(x \in \mathbb{R}^+\) μετά τη γέννηση του \(A\) με \(x = x_0 + x_1\) , \(x_0 \in \mathbb{N}_0, x_1 \in \mathbb{R}, x_1 \in [0;1[\) .
Σε αυτό το σημείο, εξ ορισμού, \(a = \lfloor x \rfloor \) και \(b = \lfloor x+d \rfloor\) . Τώρα καθορίζουμε όλα τα \(x\) για τα οποία ισχύει:
$$2 \lfloor x \rfloor = \lfloor x+d \rfloor \Leftrightarrow 2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor$$
1η περίπτωση: \(0 \leq x_1 + d_1 < 1\):
Στη συνέχεια, $$2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor \Leftrightarrow 2 x_0 = x_0 + d_0 \Leftrightarrow x_0 = d_0.$$
Αυτό σημαίνει ότι $$a = \lfloor x \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor d_0 + x_1 \rfloor = d_0$$ and $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ ο $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ πρώτης ηλικίας $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ .
2η περίπτωση: \( 1 \leq x_1 + d_1 < 2 \):
Στη συνέχεια, $$2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{\geq 1} \rfloor \Leftrightarrow 2 x_0 = x_0 + d_0 + 1 \Leftrightarrow x_0 = d_0 + 1.$$
Αυτό σημαίνει ότι $$a = \lfloor x \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor d_0 + 1 + x_1 \rfloor = d_0 + 1$$ and $$b = \lfloor x+d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + 1 + \underbrace{x_1 + d_1}_{\geq 1} \rfloor = 2 d_0 + 2$$ ο δεύτερος επιθυμητός αστερισμός ηλικίας.
Με συγκεκριμένους όρους, αυτό σημαίνει, για παράδειγμα: Εάν η μητέρα σας σας γέννησε στην ηλικία των \(20\) , είναι ακριβώς διπλάσια από εσάς στα \(40\) και \(42\) . Η περίπτωση του αν και πότε η μητέρα σας είναι \(n\) φορές μεγαλύτερη είναι επίσης ενδιαφέρουσα: Εδώ ορίζετε \(n \in \mathbb{N}\) αυθαίρετα και παίρνετε \(x_0 = \frac{d_0}{n-1} \in \mathbb{N} \Leftrightarrow d_0 = k (n-1)\) . Αυτό λειτουργεί εάν και μόνο εάν η ακέραια διαφορά ηλικίας \( \lfloor d \rfloor = d_0 \) είναι πολλαπλάσιο του \(n-1\) . Για παράδειγμα, στην παραπάνω περίπτωση, η μητέρα σας είναι \(24\) ετών \(6\) φορές μεγαλύτερη από την ηλικία σας.