Δύο φορές την ηλικία των δύο ατόμων

Σκεφτείτε δύο άτομα \(A\) και \(B\) που δεν γεννιούνται την ίδια ημέρα και το \(A\) νεότερο από το \(B\) . Δείξτε ότι υπάρχουν ακριβώς δύο αστερισμοί ηλικίας \(a,b \in \mathbb{N}\) , για τους οποίους ισχύει: \(2\cdot a = b\) . Αρχικά ορίσαμε \(d \in \mathbb{R}^+\) ως τη διαφορά ηλικίας μεταξύ \(A\) και \(B\) κατά τη γέννηση του \(A\) με \( d = d_0 + d_1 \) , \( d_0 \in \mathbb{N}_0, d_1 \in \mathbb{R}, d_1 \in [0;1[\) . Θεωρούμε τώρα μια αυθαίρετη χρονική στιγμή \(x \in \mathbb{R}^+\) μετά τη γέννηση του \(A\) με \(x = x_0 + x_1\) , \(x_0 \in \mathbb{N}_0, x_1 \in \mathbb{R}, x_1 \in [0;1[\) .


Σε αυτό το σημείο, εξ ορισμού, \(a = \lfloor x \rfloor \) και \(b = \lfloor x+d \rfloor\) . Τώρα καθορίζουμε όλα τα \(x\) για τα οποία ισχύει:

$$2 \lfloor x \rfloor = \lfloor x+d \rfloor \Leftrightarrow 2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor$$

1η περίπτωση: \(0 \leq x_1 + d_1 < 1\):

Στη συνέχεια, $$2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor \Leftrightarrow 2 x_0 = x_0 + d_0 \Leftrightarrow x_0 = d_0.$$

Αυτό σημαίνει ότι $$a = \lfloor x \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor d_0 + x_1 \rfloor = d_0$$ and $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ ο $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ πρώτης ηλικίας $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ .

2η περίπτωση: \( 1 \leq x_1 + d_1 < 2 \):

Στη συνέχεια, $$2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{\geq 1} \rfloor \Leftrightarrow 2 x_0 = x_0 + d_0 + 1 \Leftrightarrow x_0 = d_0 + 1.$$

Αυτό σημαίνει ότι $$a = \lfloor x \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor d_0 + 1 + x_1 \rfloor = d_0 + 1$$ and $$b = \lfloor x+d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + 1 + \underbrace{x_1 + d_1}_{\geq 1} \rfloor = 2 d_0 + 2$$ ο δεύτερος επιθυμητός αστερισμός ηλικίας.

Συγκεκριμένα, αυτό σημαίνει, για παράδειγμα: Εάν η μητέρα σας σας γέννησε σε ηλικία \(20\) ετών, είναι ακριβώς διπλάσια από την ηλικία σας στα \(40\) και \(42\) έτη. Είναι επίσης ενδιαφέρον εάν και όταν είναι \(n\) φορές τόσο παλιά: Εδώ \(n \in \mathbb{N}\) αυθαίρετα και παίρνουμε \(x_0 = \frac{d_0}{n-1} \in \mathbb{N} \Leftrightarrow d_0 = k (n-1)\) . Αυτό λειτουργεί ακριβώς όταν η ακέραια διαφορά ηλικίας \( \lfloor d \rfloor = d_0 \) πολλαπλάσιο του \(n-1\) , π.χ. στην παραπάνω περίπτωση η μητέρα σας είναι \(24\) ετών \(6\) φορές την ηλικία σας.

Πίσω