Розглянемо двох людей \(A\) і \(B\) , які мають різні дати народження, де \(A\) молодший за \(B\) . Показати: існує рівно два вікові сузір’я \(a,b \in \mathbb{N}\) для яких застосовується таке: \(2\cdot a = b\) . Спочатку ми встановили \(d \in \mathbb{R}^+\) як різницю у віці між \(A\) і \(B\) на момент народження \(A\) з \( d = d_0 + d_1 \) , \( d_0 \in \mathbb{N}_0, d_1 \in \mathbb{R}, d_1 \in [0;1[\) . Тепер ми розглянемо довільний час \(x \in \mathbb{R}^+\) після народження \(A\) з \(x = x_0 + x_1\) , \(x_0 \in \mathbb{N}_0, x_1 \in \mathbb{R}, x_1 \in [0;1[\) .
На даний момент часу, згідно з визначенням, \(a = \lfloor x \rfloor \) та \(b = \lfloor x+d \rfloor\) . Тепер ми визначаємо всі \(x\) для яких має місце:
$$2 \lfloor x \rfloor = \lfloor x+d \rfloor \Leftrightarrow 2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor$$
1-й випадок: \(0 \leq x_1 + d_1 < 1\):
Тоді $$2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor \Leftrightarrow 2 x_0 = x_0 + d_0 \Leftrightarrow x_0 = d_0.$$
Це означає, що $$a = \lfloor x \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor d_0 + x_1 \rfloor = d_0$$ і $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ перше вікове $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ .
2-й випадок: \( 1 \leq x_1 + d_1 < 2 \):
Тоді $$2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{\geq 1} \rfloor \Leftrightarrow 2 x_0 = x_0 + d_0 + 1 \Leftrightarrow x_0 = d_0 + 1.$$
Це означає, що $$a = \lfloor x \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor d_0 + 1 + x_1 \rfloor = d_0 + 1$$ і $$b = \lfloor x+d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + 1 + \underbrace{x_1 + d_1}_{\geq 1} \rfloor = 2 d_0 + 2$$ друге бажане вікове сузір'я.
У конкретних термінах це означає, наприклад: якщо ваша мати народила вас у віці \(20\) , вона точно вдвічі старша за вас у \(40\) і \(42\) . Також цікавий випадок, коли вашій матері в \(n\) разів більше: тут ви довільно встановлюєте \(n \in \mathbb{N}\) і отримуєте \(x_0 = \frac{d_0}{n-1} \in \mathbb{N} \Leftrightarrow d_0 = k (n-1)\) . Це працює тоді і тільки тоді, коли ціла різниця у віці \( \lfloor d \rfloor = d_0 \) кратна \(n-1\) . Наприклад, у наведеному вище випадку вашій матері \(24\) років \(6\) більше, ніж ваш вік.