Pertimbangkan dua orang \(A\) dan \(B\) yang tidak mempunyai hari lahir yang sama, dengan \(A\) lebih muda daripada \(B\) . Tunjukkan: Terdapat betul-betul dua buruj umur \(a,b \in \mathbb{N}\) yang mana perkara berikut digunakan: \(2\cdot a = b\) . Kami mula-mula menetapkan \(d \in \mathbb{R}^+\) sebagai perbezaan umur antara \(A\) dan \(B\) semasa kelahiran \(A\) dengan \( d = d_0 + d_1 \) , \( d_0 \in \mathbb{N}_0, d_1 \in \mathbb{R}, d_1 \in [0;1[\) Kami kini mempertimbangkan masa arbitrari \(x \in \mathbb{R}^+\) selepas kelahiran \(A\) dengan \(x = x_0 + x_1\) , \(x_0 \in \mathbb{N}_0, x_1 \in \mathbb{R}, x_1 \in [0;1[\) .
Pada masa ini, menurut definisi, \(a = \lfloor x \rfloor \) dan \(b = \lfloor x+d \rfloor\) . Kami sekarang menentukan semua \(x\) untuk penahanan yang mana:
$$2 \lfloor x \rfloor = \lfloor x+d \rfloor \Leftrightarrow 2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor$$
Kes pertama: \(0 \leq x_1 + d_1 < 1\):
Kemudian $$2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor \Leftrightarrow 2 x_0 = x_0 + d_0 \Leftrightarrow x_0 = d_0.$$
Ini bermaksud $$a = \lfloor x \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor d_0 + x_1 \rfloor = d_0$$ dan $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ usia pertama yang $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ .
Kes ke-2: \( 1 \leq x_1 + d_1 < 2 \):
Kemudian $$2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{\geq 1} \rfloor \Leftrightarrow 2 x_0 = x_0 + d_0 + 1 \Leftrightarrow x_0 = d_0 + 1.$$
Ini bermaksud $$a = \lfloor x \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor d_0 + 1 + x_1 \rfloor = d_0 + 1$$ dan $$b = \lfloor x+d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + 1 + \underbrace{x_1 + d_1}_{\geq 1} \rfloor = 2 d_0 + 2$$ buruj umur kedua yang diinginkan.
Dalam istilah konkrit, ini bermakna, sebagai contoh: Jika ibu anda melahirkan anda pada usia \(20\) , dia betul-betul dua kali lebih tua daripada anda pada \(40\) dan \(42\) . Kes sama ada dan bila ibu anda \(n\) lebih tua juga menarik: Di sini anda tetapkan \(n \in \mathbb{N}\) sewenang-wenangnya dan dapatkan \(x_0 = \frac{d_0}{n-1} \in \mathbb{N} \Leftrightarrow d_0 = k (n-1)\) . Ini berfungsi jika dan hanya jika perbezaan umur integer \( \lfloor d \rfloor = d_0 \) ialah gandaan bagi \(n-1\) . Contohnya, dalam kes di atas, ibu anda berumur \(24\) tahun \(6\) kali umur anda.