Beschouw twee mensen \(A\) en \(B\) die niet dezelfde verjaardag hebben, waarbij \(A\) jonger is dan \(B\) . Laat zien: Er zijn precies twee leeftijdsconstellaties \(a,b \in \mathbb{N}\) waarvoor het volgende geldt: \(2\cdot a = b\) . We stellen eerst \(d \in \mathbb{R}^+\) in als het leeftijdsverschil tussen \(A\) en \(B\) bij de geboorte van \(A\) met \( d = d_0 + d_1 \) , \( d_0 \in \mathbb{N}_0, d_1 \in \mathbb{R}, d_1 \in [0;1[\) . We beschouwen nu een willekeurige tijd \(x \in \mathbb{R}^+\) na de geboorte van \(A\) met \(x = x_0 + x_1\) , \(x_0 \in \mathbb{N}_0, x_1 \in \mathbb{R}, x_1 \in [0;1[\) .
Op dit moment zijn per definitie \(a = \lfloor x \rfloor \) en \(b = \lfloor x+d \rfloor\) . We bepalen nu alle \(x\) waarvoor geldt:
$$2 \lfloor x \rfloor = \lfloor x+d \rfloor \Leftrightarrow 2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor$$
1e geval: \(0 \leq x_1 + d_1 < 1\):
Vervolgens $$2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor \Leftrightarrow 2 x_0 = x_0 + d_0 \Leftrightarrow x_0 = d_0.$$
Dit betekent dat $$a = \lfloor x \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor d_0 + x_1 \rfloor = d_0$$ en $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ de eerste leeftijdsopstelling die $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ .
2e geval: \( 1 \leq x_1 + d_1 < 2 \):
Vervolgens $$2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{\geq 1} \rfloor \Leftrightarrow 2 x_0 = x_0 + d_0 + 1 \Leftrightarrow x_0 = d_0 + 1.$$
Dit betekent dat $$a = \lfloor x \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor d_0 + 1 + x_1 \rfloor = d_0 + 1$$ en $$b = \lfloor x+d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + 1 + \underbrace{x_1 + d_1}_{\geq 1} \rfloor = 2 d_0 + 2$$ de tweede gewenste leeftijdsopstelling.
Concreet betekent dit bijvoorbeeld: Als uw moeder u op \(20\) heeft gebaard, is zij precies twee keer zo oud als u op \(40\) en \(42\) . Het geval of en wanneer je moeder \(n\) keer zo oud is, is ook interessant: hier stel je \(n \in \mathbb{N}\) willekeurig in en krijg je \(x_0 = \frac{d_0}{n-1} \in \mathbb{N} \Leftrightarrow d_0 = k (n-1)\) . Dit werkt alleen als het gehele leeftijdsverschil \( \lfloor d \rfloor = d_0 \) een veelvoud is van \(n-1\) . In het bovenstaande geval is uw moeder bijvoorbeeld \(24\) jaar oud \(6\) maal uw leeftijd.