Beschouw twee mensen \(A\) en \(B\) die niet op dezelfde dag geboren zijn en \(A\) jonger dan \(B\) . Show: Er zijn precies twee leeftijdsopstellingen \(a,b \in \mathbb{N}\) , waarvoor geldt: \(2\cdot a = b\) . We stellen eerst \(d \in \mathbb{R}^+\) als het leeftijdsverschil tussen \(A\) en \(B\) bij de geboorte van \(A\) met \( d = d_0 + d_1 \) , \( d_0 \in \mathbb{N}_0, d_1 \in \mathbb{R}, d_1 \in [0;1[\) . We beschouwen nu een willekeurig tijdstip \(x \in \mathbb{R}^+\) na de geboorte van \(A\) met \(x = x_0 + x_1\) , \(x_0 \in \mathbb{N}_0, x_1 \in \mathbb{R}, x_1 \in [0;1[\) .
Op dit moment zijn per definitie \(a = \lfloor x \rfloor \) en \(b = \lfloor x+d \rfloor\) . We bepalen nu alle \(x\) waarvoor geldt:
$$2 \lfloor x \rfloor = \lfloor x+d \rfloor \Leftrightarrow 2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor$$
1e geval: \(0 \leq x_1 + d_1 < 1\):
Vervolgens $$2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor \Leftrightarrow 2 x_0 = x_0 + d_0 \Leftrightarrow x_0 = d_0.$$
Dit betekent dat $$a = \lfloor x \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor d_0 + x_1 \rfloor = d_0$$ en $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ de eerste leeftijdsopstelling die $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ .
2e geval: \( 1 \leq x_1 + d_1 < 2 \):
Vervolgens $$2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{\geq 1} \rfloor \Leftrightarrow 2 x_0 = x_0 + d_0 + 1 \Leftrightarrow x_0 = d_0 + 1.$$
Dit betekent dat $$a = \lfloor x \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor d_0 + 1 + x_1 \rfloor = d_0 + 1$$ en $$b = \lfloor x+d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + 1 + \underbrace{x_1 + d_1}_{\geq 1} \rfloor = 2 d_0 + 2$$ de tweede gewenste leeftijdsopstelling.
Stel bijvoorbeeld dat je moeder je op \(20\) jarige leeftijd ter wereld bracht. Dan is ze precies twee keer zo oud als jij, namelijk \(40\) en \(42\) Het is ook interessant om te bekijken of en wanneer je moeder \(n\) keer zo oud is: we kiezen hier willekeurig \(n \in \mathbb{N}\) en krijgen \(x_0 = \frac{d_0}{n-1} \in \mathbb{N} \Leftrightarrow d_0 = k (n-1)\) . Dit werkt alleen als het leeftijdsverschil \( \lfloor d \rfloor = d_0 \) een veelvoud is van \(n-1\) . In het bovenstaande voorbeeld is je moeder bijvoorbeeld \(6\) keer zo oud als jij, namelijk \(24\) .