Beschouw twee mensen \(A\) en \(B\) die niet op dezelfde dag geboren zijn en \(A\) jonger dan \(B\) . Show: Er zijn precies twee leeftijdsopstellingen \(a,b \in \mathbb{N}\) , waarvoor geldt: \(2\cdot a = b\) . We stellen eerst \(d \in \mathbb{R}^+\) als het leeftijdsverschil tussen \(A\) en \(B\) bij de geboorte van \(A\) met \( d = d_0 + d_1 \) , \( d_0 \in \mathbb{N}_0, d_1 \in \mathbb{R}, d_1 \in [0;1[\) . We beschouwen nu een willekeurig tijdstip \(x \in \mathbb{R}^+\) na de geboorte van \(A\) met \(x = x_0 + x_1\) , \(x_0 \in \mathbb{N}_0, x_1 \in \mathbb{R}, x_1 \in [0;1[\) .
Op dit moment zijn per definitie \(a = \lfloor x \rfloor \) en \(b = \lfloor x+d \rfloor\) . We bepalen nu alle \(x\) waarvoor geldt:
$$2 \lfloor x \rfloor = \lfloor x+d \rfloor \Leftrightarrow 2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor$$
1e geval: \(0 \leq x_1 + d_1 < 1\):
Vervolgens $$2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor \Leftrightarrow 2 x_0 = x_0 + d_0 \Leftrightarrow x_0 = d_0.$$
Dit betekent dat $$a = \lfloor x \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor d_0 + x_1 \rfloor = d_0$$ en $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ de eerste leeftijdsopstelling die $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ .
2e geval: \( 1 \leq x_1 + d_1 < 2 \):
Vervolgens $$2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{\geq 1} \rfloor \Leftrightarrow 2 x_0 = x_0 + d_0 + 1 \Leftrightarrow x_0 = d_0 + 1.$$
Dit betekent dat $$a = \lfloor x \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor d_0 + 1 + x_1 \rfloor = d_0 + 1$$ en $$b = \lfloor x+d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + 1 + \underbrace{x_1 + d_1}_{\geq 1} \rfloor = 2 d_0 + 2$$ de tweede gewenste leeftijdsopstelling.
Concreet betekent dit bijvoorbeeld: als je moeder je beviel op de leeftijd van \(20\) jaar, is ze precies twee keer jouw leeftijd op \(40\) en \(42\) jaar. Het is ook interessant of en wanneer ze \(n\) keer zo oud is: hier wordt \(n \in \mathbb{N}\) willekeurig \(n \in \mathbb{N}\) en krijgen we \(x_0 = \frac{d_0}{n-1} \in \mathbb{N} \Leftrightarrow d_0 = k (n-1)\) . Dit werkt precies als het gehele leeftijdsverschil \( \lfloor d \rfloor = d_0 \) een veelvoud is van \(n-1\) , bijvoorbeeld in het bovenstaande geval is uw moeder \(24\) jaar \(6\) keer uw leeftijd.