Due volte l'età di due persone

Considera due persone \(A\) e \(B\) che non sono nate lo stesso giorno e \(A\) più giovane di \(B\) . Mostra: ci sono esattamente due costellazioni di età \(a,b \in \mathbb{N}\) , per le quali si applica: \(2\cdot a = b\) . Per prima cosa abbiamo impostato \(d \in \mathbb{R}^+\) come differenza di età tra \(A\) e \(B\) alla nascita di \(A\) con \( d = d_0 + d_1 \) , \( d_0 \in \mathbb{N}_0, d_1 \in \mathbb{R}, d_1 \in [0;1[\) . Consideriamo ora un punto temporale arbitrario \(x \in \mathbb{R}^+\) dopo la nascita di \(A\) con \(x = x_0 + x_1\) , \(x_0 \in \mathbb{N}_0, x_1 \in \mathbb{R}, x_1 \in [0;1[\) .


A questo punto, secondo la definizione, \(a = \lfloor x \rfloor \) e \(b = \lfloor x+d \rfloor\) . Ora determiniamo tutte le \(x\) per le quali vale:

$$2 \lfloor x \rfloor = \lfloor x+d \rfloor \Leftrightarrow 2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor$$

1 ° caso: \(0 \leq x_1 + d_1 < 1\):

Quindi $$2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor \Leftrightarrow 2 x_0 = x_0 + d_0 \Leftrightarrow x_0 = d_0.$$

Ciò significa che $$a = \lfloor x \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor d_0 + x_1 \rfloor = d_0$$ e $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ la prima $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ età $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ .

2 ° caso: \( 1 \leq x_1 + d_1 < 2 \):

Quindi $$2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{\geq 1} \rfloor \Leftrightarrow 2 x_0 = x_0 + d_0 + 1 \Leftrightarrow x_0 = d_0 + 1.$$

Ciò significa che $$a = \lfloor x \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor d_0 + 1 + x_1 \rfloor = d_0 + 1$$ e $$b = \lfloor x+d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + 1 + \underbrace{x_1 + d_1}_{\geq 1} \rfloor = 2 d_0 + 2$$ la seconda costellazione d'età desiderata.

In particolare, questo significa, ad esempio: se tua madre ti ha partorito all'età di \(20\) anni, ha esattamente il doppio della tua età a \(40\) e \(42\) anni. È anche interessante se e quando è \(n\) volte così vecchia: qui \(n \in \mathbb{N}\) arbitrariamente e otteniamo \(x_0 = \frac{d_0}{n-1} \in \mathbb{N} \Leftrightarrow d_0 = k (n-1)\) . Funziona esattamente quando la differenza di età intera \( \lfloor d \rfloor = d_0 \) un multiplo di \(n-1\) , ad esempio nel caso precedente tua madre ha \(24\) anni \(6\) volte la tua età.

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