Doğum günleri aynı olmayan \(A\) ve \(B\) adlı iki kişiyi düşünün; burada \(A\) \(B\) 'den küçüktür. Göster: Aşağıdakilerin geçerli olduğu \(a,b \in \mathbb{N}\) tam olarak iki yaş takımyıldızı vardır: \(2\cdot a = b\) . İlk olarak \(d \in \mathbb{R}^+\) 'yi \(A\) ile \(B\) arasındaki \ \(A\) doğumunda \( d = d_0 + d_1 \) , \( d_0 \in \mathbb{N}_0, d_1 \in \mathbb{R}, d_1 \in [0;1[\) . Şimdi \(x \in \mathbb{R}^+\) \(A\) 'nın doğumundan sonra \(x = x_0 + x_1\) , \(x_0 \in \mathbb{N}_0, x_1 \in \mathbb{R}, x_1 \in [0;1[\) ile keyfi bir zamanı ele alıyoruz.
Bu noktada, tanıma göre \(a = \lfloor x \rfloor \) ve \(b = \lfloor x+d \rfloor\) . Şimdi tüm \(x\) hangileri için:
$$2 \lfloor x \rfloor = \lfloor x+d \rfloor \Leftrightarrow 2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor$$
1. durum: \(0 \leq x_1 + d_1 < 1\):
Ardından $$2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor \Leftrightarrow 2 x_0 = x_0 + d_0 \Leftrightarrow x_0 = d_0.$$
Bu, $$a = \lfloor x \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor d_0 + x_1 \rfloor = d_0$$ ve $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ ilk yaş $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ .
2. durum: \( 1 \leq x_1 + d_1 < 2 \):
Ardından $$2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{\geq 1} \rfloor \Leftrightarrow 2 x_0 = x_0 + d_0 + 1 \Leftrightarrow x_0 = d_0 + 1.$$
Böylece $$a = \lfloor x \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor d_0 + 1 + x_1 \rfloor = d_0 + 1$$ ve $$b = \lfloor x+d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + 1 + \underbrace{x_1 + d_1}_{\geq 1} \rfloor = 2 d_0 + 2$$ istenen ikinci yaş takımyıldızı.
Somut olarak bu şu anlama gelir: Örneğin, eğer anneniz sizi \(20\) yaşında doğurduysa, o sizin \(40\) ve \(42\) yaşında olmanızın tam iki katı yaşındadır. Annenizin \(n\) kat daha yaşlı olup olmadığı ve ne zaman olacağı durumu da ilginçtir: Burada \(n \in \mathbb{N}\) öğesini keyfi olarak ayarlarsınız ve \(x_0 = \frac{d_0}{n-1} \in \mathbb{N} \Leftrightarrow d_0 = k (n-1)\) elde edersiniz. Bu, yalnızca tamsayı yaş farkı \( \lfloor d \rfloor = d_0 \) \(n-1\) 'nin katı olduğunda işe yarar. Örneğin, yukarıdaki durumda anneniz sizin yaşınızın \(24\) \(6\) katıdır.