दो लोगों \(A\) और \(B\) पर विचार करें जिनका जन्मदिन एक ही नहीं है, जहां \(A\) \(B\) से छोटा है। दिखाएँ: बिल्कुल दो आयु नक्षत्र हैं \(a,b \in \mathbb{N}\) जिसके लिए निम्नलिखित लागू होता है: \(2\cdot a = b\) । हमने पहले \(d \in \mathbb{R}^+\) को \(A\) के जन्म के समय \(A\) और \(B\) के बीच की उम्र के अंतर के रूप में \( d = d_0 + d_1 \) , \( d_0 \in \mathbb{N}_0, d_1 \in \mathbb{R}, d_1 \in [0;1[\) । अब हम \(A\) के जन्म के बाद \(x \in \mathbb{R}^+\) के साथ \(x = x_0 + x_1\) , \(x_0 \in \mathbb{N}_0, x_1 \in \mathbb{R}, x_1 \in [0;1[\) ।
इस समय, परिभाषा के अनुसार, \(a = \lfloor x \rfloor \) और \(b = \lfloor x+d \rfloor\) । अब हम सभी \(x\) को निर्धारित करते हैं, जिसके लिए धारण करता है:
$$2 \lfloor x \rfloor = \lfloor x+d \rfloor \Leftrightarrow 2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor$$
पहला मामला: \(0 \leq x_1 + d_1 < 1\):
तब $$2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor \Leftrightarrow 2 x_0 = x_0 + d_0 \Leftrightarrow x_0 = d_0.$$
इसका अर्थ है कि $$a = \lfloor x \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor d_0 + x_1 \rfloor = d_0$$ और $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ पहली आयु का $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ जिसकी $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ थी।
दूसरा मामला: \( 1 \leq x_1 + d_1 < 2 \):
तब $$2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{\geq 1} \rfloor \Leftrightarrow 2 x_0 = x_0 + d_0 + 1 \Leftrightarrow x_0 = d_0 + 1.$$
इसका अर्थ है कि $$a = \lfloor x \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor d_0 + 1 + x_1 \rfloor = d_0 + 1$$ और $$b = \lfloor x+d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + 1 + \underbrace{x_1 + d_1}_{\geq 1} \rfloor = 2 d_0 + 2$$
ठोस शब्दों में, इसका मतलब है, उदाहरण के लिए: यदि आपकी मां ने आपको \(20\) वर्ष की उम्र में जन्म दिया है, तो वह \(40\) और \(42\) की उम्र में आपसे ठीक दोगुनी उम्र की है। यह मामला भी दिलचस्प है कि आपकी मां की उम्र \(n\) गुना है या नहीं: यहां आप \(n \in \mathbb{N}\) मनमाने ढंग से सेट करते हैं और \(x_0 = \frac{d_0}{n-1} \in \mathbb{N} \Leftrightarrow d_0 = k (n-1)\) यह तभी काम करता है जब पूर्णांक आयु अंतर \( \lfloor d \rfloor = d_0 \) \(n-1\) का गुणज हो। उदाहरण के लिए, उपरोक्त मामले में, आपकी माँ आपकी उम्र से \(24\) गुना \(6\) वर्ष बड़ी है।