Considere dos personas \(A\) y \(B\) que no nacieron el mismo día y \(A\) más joven que \(B\) . Mostrar: Hay exactamente dos constelaciones de edad \(a,b \in \mathbb{N}\) , para las cuales se aplica: \(2\cdot a = b\) . Primero establecemos \(d \in \mathbb{R}^+\) como la diferencia de edad entre \(A\) y \(B\) al nacimiento de \(A\) con \( d = d_0 + d_1 \) , \( d_0 \in \mathbb{N}_0, d_1 \in \mathbb{R}, d_1 \in [0;1[\) . Ahora consideramos un punto arbitrario en el tiempo \(x \in \mathbb{R}^+\) después del nacimiento de \(A\) con \(x = x_0 + x_1\) , \(x_0 \in \mathbb{N}_0, x_1 \in \mathbb{R}, x_1 \in [0;1[\) .
En este momento, por definición, \(a = \lfloor x \rfloor \) y \(b = \lfloor x+d \rfloor\) . Ahora determinamos todo \(x\) para lo que se cumple:
$$2 \lfloor x \rfloor = \lfloor x+d \rfloor \Leftrightarrow 2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor$$
1er caso: \(0 \leq x_1 + d_1 < 1\):
Entonces $$2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor \Leftrightarrow 2 x_0 = x_0 + d_0 \Leftrightarrow x_0 = d_0.$$
Esto significa que $$a = \lfloor x \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor d_0 + x_1 \rfloor = d_0$$ y $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ la primera $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ edad $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ .
Segundo caso: \( 1 \leq x_1 + d_1 < 2 \):
Entonces $$2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{\geq 1} \rfloor \Leftrightarrow 2 x_0 = x_0 + d_0 + 1 \Leftrightarrow x_0 = d_0 + 1.$$
Esto significa que $$a = \lfloor x \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor d_0 + 1 + x_1 \rfloor = d_0 + 1$$ y $$b = \lfloor x+d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + 1 + \underbrace{x_1 + d_1}_{\geq 1} \rfloor = 2 d_0 + 2$$ la segunda constelación de edad deseada.
Específicamente, esto significa, por ejemplo: si tu madre te dio a luz a la edad de \(20\) años, ella tiene exactamente el doble de tu edad a los \(40\) y \(42\) años. También es interesante si tiene \(n\) veces esa edad: aquí \(n \in \mathbb{N}\) arbitrariamente y obtenemos \(x_0 = \frac{d_0}{n-1} \in \mathbb{N} \Leftrightarrow d_0 = k (n-1)\) . Esto funciona exactamente cuando la diferencia de edad entera \( \lfloor d \rfloor = d_0 \) un múltiplo de \(n-1\) , por ejemplo, en el caso anterior, tu madre tiene \(24\) años \(6\) veces tu edad.