Рассмотрим двух людей \(A\) и \(B\) , которые родились не в один день, а \(A\) младше \(B\) . Покажите, что существует ровно два возрастных созвездия \(a,b \in \mathbb{N}\) , для которых применяется: \(2\cdot a = b\) . Сначала мы устанавливаем \(d \in \mathbb{R}^+\) как разницу в возрасте между \(A\) и \(B\) при рождении \(A\) с \( d = d_0 + d_1 \) , \( d_0 \in \mathbb{N}_0, d_1 \in \mathbb{R}, d_1 \in [0;1[\) . Теперь рассмотрим произвольный момент времени \(x \in \mathbb{R}^+\) после рождения \(A\) с \(x = x_0 + x_1\) , \(x_0 \in \mathbb{N}_0, x_1 \in \mathbb{R}, x_1 \in [0;1[\) .
В этот момент, согласно определению, \(a = \lfloor x \rfloor \) и \(b = \lfloor x+d \rfloor\) . Теперь определим все \(x\) для которых выполняется:
$$2 \lfloor x \rfloor = \lfloor x+d \rfloor \Leftrightarrow 2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor$$
1-й случай: \(0 \leq x_1 + d_1 < 1\):
Тогда $$2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor \Leftrightarrow 2 x_0 = x_0 + d_0 \Leftrightarrow x_0 = d_0.$$
Это означает, что $$a = \lfloor x \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor d_0 + x_1 \rfloor = d_0$$ и $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ первое $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ возраста, которое $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ .
2-й случай: \( 1 \leq x_1 + d_1 < 2 \):
Тогда $$2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{\geq 1} \rfloor \Leftrightarrow 2 x_0 = x_0 + d_0 + 1 \Leftrightarrow x_0 = d_0 + 1.$$
Это означает, что $$a = \lfloor x \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor d_0 + 1 + x_1 \rfloor = d_0 + 1$$ и $$b = \lfloor x+d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + 1 + \underbrace{x_1 + d_1}_{\geq 1} \rfloor = 2 d_0 + 2$$ второе желаемое возрастное созвездие.
В частности, это означает, например, что если ваша мать родила вас в возрасте \(20\) лет, она ровно вдвое старше вас в \(40\) и \(42\) лет. Также интересно, если и когда ей в \(n\) раз больше: здесь \(n \in \mathbb{N}\) произвольно, и мы получаем \(x_0 = \frac{d_0}{n-1} \in \mathbb{N} \Leftrightarrow d_0 = k (n-1)\) . Это работает именно тогда, когда целочисленная разница в возрасте \( \lfloor d \rfloor = d_0 \) кратна \(n-1\) , например, в приведенном выше случае вашей матери \(24\) лет \(6\) раз ваш возраст.