Considérons deux personnes \(A\) et \(B\) qui ne sont pas nées le même jour et \(A\) plus jeune que \(B\) . Afficher: Il existe exactement deux constellations d'âge \(a,b \in \mathbb{N}\) , pour lesquelles s'applique: \(2\cdot a = b\) . Nous définissons d'abord \(d \in \mathbb{R}^+\) comme différence d'âge entre \(A\) et \(B\) à la naissance de \(A\) avec \( d = d_0 + d_1 \) , \( d_0 \in \mathbb{N}_0, d_1 \in \mathbb{R}, d_1 \in [0;1[\) . Nous considérons maintenant un point arbitraire dans le temps \(x \in \mathbb{R}^+\) après la naissance de \(A\) avec \(x = x_0 + x_1\) , \(x_0 \in \mathbb{N}_0, x_1 \in \mathbb{R}, x_1 \in [0;1[\) .
À ce stade, selon la définition, \(a = \lfloor x \rfloor \) et \(b = \lfloor x+d \rfloor\) . Nous déterminons maintenant tous les \(x\) pour lesquels:
$$2 \lfloor x \rfloor = \lfloor x+d \rfloor \Leftrightarrow 2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor$$
1er cas: \(0 \leq x_1 + d_1 < 1\):
Puis $$2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor \Leftrightarrow 2 x_0 = x_0 + d_0 \Leftrightarrow x_0 = d_0.$$
Cela signifie que $$a = \lfloor x \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor d_0 + x_1 \rfloor = d_0$$ et $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ la première $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ âge que $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ .
2ème cas: \( 1 \leq x_1 + d_1 < 2 \):
Puis $$2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{\geq 1} \rfloor \Leftrightarrow 2 x_0 = x_0 + d_0 + 1 \Leftrightarrow x_0 = d_0 + 1.$$
Cela signifie que $$a = \lfloor x \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor d_0 + 1 + x_1 \rfloor = d_0 + 1$$ et $$b = \lfloor x+d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + 1 + \underbrace{x_1 + d_1}_{\geq 1} \rfloor = 2 d_0 + 2$$ la deuxième constellation d'âge souhaitée.
Plus précisément, cela signifie, par exemple: si votre mère vous a donné naissance à l'âge de \(20\) ans, elle a exactement le double de votre âge à \(40\) et \(42\) ans. C'est aussi intéressant si et quand elle est \(n\) fois aussi vieille: ici \(n \in \mathbb{N}\) arbitrairement et nous obtenons \(x_0 = \frac{d_0}{n-1} \in \mathbb{N} \Leftrightarrow d_0 = k (n-1)\) . Cela fonctionne exactement lorsque la différence d'âge entière \( \lfloor d \rfloor = d_0 \) un multiple de \(n-1\) , par exemple dans le cas ci-dessus, votre mère a \(24\) ans \(6\) fois votre âge.