Luați în considerare două persoane \(A\) și \(B\) care nu sunt născute în aceeași zi și \(A\) mai tânără decât \(B\) . Arătați că există exact două constelații de vârstă \(a,b \in \mathbb{N}\) , pentru care se aplică: \(2\cdot a = b\) . Mai întâi setăm \(d \in \mathbb{R}^+\) ca diferență de vârstă între \(A\) și \(B\) la nașterea lui \(A\) cu \( d = d_0 + d_1 \) , \( d_0 \in \mathbb{N}_0, d_1 \in \mathbb{R}, d_1 \in [0;1[\) . Acum considerăm un moment arbitrar în timp \(x \in \mathbb{R}^+\) după nașterea lui \(A\) cu \(x = x_0 + x_1\) , \(x_0 \in \mathbb{N}_0, x_1 \in \mathbb{R}, x_1 \in [0;1[\) .
În acest moment, conform definiției, \(a = \lfloor x \rfloor \) și \(b = \lfloor x+d \rfloor\) . Acum determinăm toate \(x\) pentru care se păstrează:
$$2 \lfloor x \rfloor = \lfloor x+d \rfloor \Leftrightarrow 2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor$$
Primul caz: \(0 \leq x_1 + d_1 < 1\):
Apoi $$2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor \Leftrightarrow 2 x_0 = x_0 + d_0 \Leftrightarrow x_0 = d_0.$$
Aceasta înseamnă că $$a = \lfloor x \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor d_0 + x_1 \rfloor = d_0$$ și $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ prima $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ vârstă pe care $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ .
Al doilea caz: \( 1 \leq x_1 + d_1 < 2 \):
Apoi $$2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{\geq 1} \rfloor \Leftrightarrow 2 x_0 = x_0 + d_0 + 1 \Leftrightarrow x_0 = d_0 + 1.$$
Aceasta înseamnă că $$a = \lfloor x \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor d_0 + 1 + x_1 \rfloor = d_0 + 1$$ și $$b = \lfloor x+d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + 1 + \underbrace{x_1 + d_1}_{\geq 1} \rfloor = 2 d_0 + 2$$ a doua constelație de vârstă dorită.
În mod specific, aceasta înseamnă, de exemplu: Dacă mama ta te-a născut la vârsta de \(20\) ani, ea este exact de două ori vârsta ta la \(40\) și \(42\) ani. De asemenea, este interesant dacă și când are \(n\) ori de atât de vechi: aici \(n \in \mathbb{N}\) mod arbitrar și obținem \(x_0 = \frac{d_0}{n-1} \in \mathbb{N} \Leftrightarrow d_0 = k (n-1)\) . Acest lucru funcționează exact când diferența de vârstă întreagă \( \lfloor d \rfloor = d_0 \) multiplu de \(n-1\) , de exemplu, în cazul de mai sus, mama ta are \(24\) ani \(6\) ori \(6\) vârsta ta.