Luați în considerare două persoane \(A\) și \(B\) care nu au aceeași zi de naștere, unde \(A\) este mai tânără decât \(B\) . Arată: Există exact două constelații de vârstă \(a,b \in \mathbb{N}\) pentru care se aplică următoarele: \(2\cdot a = b\) . Mai întâi setăm \(d \in \mathbb{R}^+\) ca diferență de vârstă între \(A\) și \(B\) la nașterea lui \(A\) cu \( d = d_0 + d_1 \) , \( d_0 \in \mathbb{N}_0, d_1 \in \mathbb{R}, d_1 \in [0;1[\) Considerăm acum un timp arbitrar \(x \in \mathbb{R}^+\) după nașterea lui \(A\) cu \(x = x_0 + x_1\) , \(x_0 \in \mathbb{N}_0, x_1 \in \mathbb{R}, x_1 \in [0;1[\) .
În acest moment, conform definiției, \(a = \lfloor x \rfloor \) și \(b = \lfloor x+d \rfloor\) . Acum determinăm toate \(x\) pentru care se păstrează:
$$2 \lfloor x \rfloor = \lfloor x+d \rfloor \Leftrightarrow 2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor$$
Primul caz: \(0 \leq x_1 + d_1 < 1\):
Apoi $$2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor \Leftrightarrow 2 x_0 = x_0 + d_0 \Leftrightarrow x_0 = d_0.$$
Aceasta înseamnă că $$a = \lfloor x \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor d_0 + x_1 \rfloor = d_0$$ și $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ prima $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ vârstă pe care $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ .
Al doilea caz: \( 1 \leq x_1 + d_1 < 2 \):
Apoi $$2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{\geq 1} \rfloor \Leftrightarrow 2 x_0 = x_0 + d_0 + 1 \Leftrightarrow x_0 = d_0 + 1.$$
Aceasta înseamnă că $$a = \lfloor x \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor d_0 + 1 + x_1 \rfloor = d_0 + 1$$ și $$b = \lfloor x+d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + 1 + \underbrace{x_1 + d_1}_{\geq 1} \rfloor = 2 d_0 + 2$$ a doua constelație de vârstă dorită.
În termeni concreti, aceasta înseamnă, de exemplu: Dacă mama ta te-a născut la vârsta de \(20\) , ea are exact de două ori mai în vârstă decât tine la \(40\) și \(42\) . Cazul dacă și când mama ta are \(n\) ori mai mult de bătrâne este, de asemenea, interesant: aici setați \(n \in \mathbb{N}\) în mod arbitrar și obțineți \(x_0 = \frac{d_0}{n-1} \in \mathbb{N} \Leftrightarrow d_0 = k (n-1)\) . Acest lucru funcționează dacă și numai dacă diferența de vârstă întregă \( \lfloor d \rfloor = d_0 \) este un multiplu al \(n-1\) . De exemplu, în cazul de mai sus, mama ta are \(24\) ani \(6\) ori vârsta ta.