To gange alderen på to personer

Overvej to personer \(A\) og \(B\) der ikke er født samme dag, og \(A\) yngre end \(B\) . Vis, at der er nøjagtigt to aldersgrupper \(a,b \in \mathbb{N}\) , for hvilke der gælder: \(2\cdot a = b\) . Vi indstiller først \(d \in \mathbb{R}^+\) som aldersforskellen mellem \(A\) og \(B\) ved fødslen af \(A\) med \( d = d_0 + d_1 \) , \( d_0 \in \mathbb{N}_0, d_1 \in \mathbb{R}, d_1 \in [0;1[\) . Vi betragter nu et vilkårligt tidspunkt i \(x \in \mathbb{R}^+\) efter fødslen af \(A\) med \(x = x_0 + x_1\) , \(x_0 \in \mathbb{N}_0, x_1 \in \mathbb{R}, x_1 \in [0;1[\) .


På dette tidspunkt ifølge definitionen \(a = \lfloor x \rfloor \) og \(b = \lfloor x+d \rfloor\) . Vi bestemmer nu alle \(x\) som holder:

$$2 \lfloor x \rfloor = \lfloor x+d \rfloor \Leftrightarrow 2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor$$

1. sag: \(0 \leq x_1 + d_1 < 1\):

Derefter $$2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor \Leftrightarrow 2 x_0 = x_0 + d_0 \Leftrightarrow x_0 = d_0.$$

Dette betyder, at $$a = \lfloor x \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor d_0 + x_1 \rfloor = d_0$$ og $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ den første aldersgruppe, $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ efter.

2. sag: \( 1 \leq x_1 + d_1 < 2 \):

Derefter $$2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{\geq 1} \rfloor \Leftrightarrow 2 x_0 = x_0 + d_0 + 1 \Leftrightarrow x_0 = d_0 + 1.$$

Dette betyder, at $$a = \lfloor x \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor d_0 + 1 + x_1 \rfloor = d_0 + 1$$ og $$b = \lfloor x+d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + 1 + \underbrace{x_1 + d_1}_{\geq 1} \rfloor = 2 d_0 + 2$$ den anden ønskede aldersgruppe.

Specifikt betyder det for eksempel: Hvis din mor fødte dig i en alder af \(20\) år, er hun nøjagtigt dobbelt så gammel som \(40\) og \(42\) år. Det er også interessant, hvis og når hun er \(n\) gange så gammel: Her \(n \in \mathbb{N}\) vilkårligt, og du får \(x_0 = \frac{d_0}{n-1} \in \mathbb{N} \Leftrightarrow d_0 = k (n-1)\) . Dette fungerer nøjagtigt, når aldersforskellen i heltal \( \lfloor d \rfloor = d_0 \) et multiplum af \(n-1\) , fx i ovenstående tilfælde er din mor \(24\) år \(6\) gange din alder.

Tilbage