Dy herë mosha e dy personave

Merrni parasysh dy persona \(A\) dhe \(B\) cilët nuk kanë lindur në të njëjtën ditë dhe \(A\) më i ri se \(B\) . Tregoni se ekzistojnë saktësisht dy yjësi moshe \(a,b \in \mathbb{N}\) , për të cilat vlen më poshtë: \(2\cdot a = b\) . Së pari vendosim \(d \in \mathbb{R}^+\) si diferencë moshe midis \(A\) dhe \(B\) në lindjen e \(A\) me \( d = d_0 + d_1 \) , \( d_0 \in \mathbb{N}_0, d_1 \in \mathbb{R}, d_1 \in [0;1[\) . Tani konsiderojmë një pikë arbitrare në kohë \(x \in \mathbb{R}^+\) pas lindjes së \(A\) me \(x = x_0 + x_1\) , \(x_0 \in \mathbb{N}_0, x_1 \in \mathbb{R}, x_1 \in [0;1[\) .


Në këtë moment në kohë, sipas përkufizimit, \(a = \lfloor x \rfloor \) dhe \(b = \lfloor x+d \rfloor\) . Tani përcaktojmë të gjitha \(x\) për të cilat vlejnë:

$$2 \lfloor x \rfloor = \lfloor x+d \rfloor \Leftrightarrow 2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor$$

Rasti i parë: \(0 \leq x_1 + d_1 < 1\):

Atëherë $$2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor \Leftrightarrow 2 x_0 = x_0 + d_0 \Leftrightarrow x_0 = d_0.$$

Kjo do të thotë që $$a = \lfloor x \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor d_0 + x_1 \rfloor = d_0$$ dhe $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ e parë e moshës $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ .

Rasti i 2-të: \( 1 \leq x_1 + d_1 < 2 \):

Atëherë $$2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{\geq 1} \rfloor \Leftrightarrow 2 x_0 = x_0 + d_0 + 1 \Leftrightarrow x_0 = d_0 + 1.$$

Kjo do të thotë që $$a = \lfloor x \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor d_0 + 1 + x_1 \rfloor = d_0 + 1$$ dhe $$b = \lfloor x+d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + 1 + \underbrace{x_1 + d_1}_{\geq 1} \rfloor = 2 d_0 + 2$$ e dytë e dëshiruar e moshës.

Konkretisht, kjo do të thotë, për shembull: Nëse nëna juaj ju lindi në moshën \(20\) vjeç, ajo është saktësisht dyfishi i moshës suaj në \(40\) dhe \(42\) vjet. Alsoshtë gjithashtu interesante nëse dhe kur ajo është \(n\) herë aq e vjetër: Këtu \(n \in \mathbb{N}\) mënyrë arbitrare dhe ne marrim \(x_0 = \frac{d_0}{n-1} \in \mathbb{N} \Leftrightarrow d_0 = k (n-1)\) . Kjo funksionon saktësisht kur ndryshimi i moshës së plotë \( \lfloor d \rfloor = d_0 \) shumëfish i \(n-1\) , p.sh. në rastin e mësipërm nëna juaj është \(24\) vjet \(6\) herë moshën tuaj.

Mbrapa