Rozważmy dwie osoby \(A\) i \(B\) , które nie obchodzą tego samego dnia urodzin, gdzie \(A\) jest młodsza niż \(B\) . Pokaż: Istnieją dokładnie dwie konstelacje wiekowe \(a,b \in \mathbb{N}\) dla których obowiązuje następujący wzór: \(2\cdot a = b\) . Najpierw ustawiamy \(d \in \mathbb{R}^+\) jako różnicę wieku między \(A\) i \(B\) w chwili urodzenia \(A\) za pomocą \( d = d_0 + d_1 \) , \( d_0 \in \mathbb{N}_0, d_1 \in \mathbb{R}, d_1 \in [0;1[\) . Rozważymy teraz dowolny czas \(x \in \mathbb{R}^+\) po narodzinach \(A\) z \(x = x_0 + x_1\) , \(x_0 \in \mathbb{N}_0, x_1 \in \mathbb{R}, x_1 \in [0;1[\) .
W tym momencie, zgodnie z definicją, \(a = \lfloor x \rfloor \) i \(b = \lfloor x+d \rfloor\) . Teraz określamy wszystkie \(x\) dla których blokady:
$$2 \lfloor x \rfloor = \lfloor x+d \rfloor \Leftrightarrow 2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor$$
1 przypadek: \(0 \leq x_1 + d_1 < 1\):
Następnie $$2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor \Leftrightarrow 2 x_0 = x_0 + d_0 \Leftrightarrow x_0 = d_0.$$
Oznacza to, że $$a = \lfloor x \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor d_0 + x_1 \rfloor = d_0$$ i $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ pierwsza $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ wieku, $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ .
2. przypadek: \( 1 \leq x_1 + d_1 < 2 \):
Następnie $$2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{\geq 1} \rfloor \Leftrightarrow 2 x_0 = x_0 + d_0 + 1 \Leftrightarrow x_0 = d_0 + 1.$$
Oznacza to, że $$a = \lfloor x \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor d_0 + 1 + x_1 \rfloor = d_0 + 1$$ i $$b = \lfloor x+d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + 1 + \underbrace{x_1 + d_1}_{\geq 1} \rfloor = 2 d_0 + 2$$ druga pożądana konstelacja wieku.
Konkretnie oznacza to na przykład: jeśli Twoja matka urodziła Cię w wieku \(20\) , to jest dokładnie dwa razy starsza od Ciebie w wieku \(40\) i \(42\) . Interesujący jest również przypadek tego, czy i kiedy twoja matka jest \(n\) razy starsza: tutaj ustawiasz \(n \in \mathbb{N}\) arbitralnie i otrzymujesz \(x_0 = \frac{d_0}{n-1} \in \mathbb{N} \Leftrightarrow d_0 = k (n-1)\) . Działa to wtedy i tylko wtedy, gdy całkowita różnica wieku \( \lfloor d \rfloor = d_0 \) jest wielokrotnością \(n-1\) . Na przykład w powyższym przypadku Twoja matka ma \(24\) lata \(6\) razy więcej od Ciebie.