Rozważmy dwie osoby \(A\) i \(B\) które nie urodziły się tego samego dnia, a \(A\) młodsze niż \(B\) . Pokaż: Istnieją dokładnie dwie konstelacje wiekowe \(a,b \in \mathbb{N}\) , dla których obowiązuje: \(2\cdot a = b\) . Najpierw ustawiamy \(d \in \mathbb{R}^+\) jako różnicę wieku między \(A\) a \(B\) w momencie narodzin \(A\) z \( d = d_0 + d_1 \) , \( d_0 \in \mathbb{N}_0, d_1 \in \mathbb{R}, d_1 \in [0;1[\) . Rozważamy teraz dowolny punkt w czasie \(x \in \mathbb{R}^+\) po narodzinach \(A\) z \(x = x_0 + x_1\) , \(x_0 \in \mathbb{N}_0, x_1 \in \mathbb{R}, x_1 \in [0;1[\) .
W tym momencie, zgodnie z definicją, \(a = \lfloor x \rfloor \) i \(b = \lfloor x+d \rfloor\) . Teraz określamy wszystkie \(x\) dla których blokady:
$$2 \lfloor x \rfloor = \lfloor x+d \rfloor \Leftrightarrow 2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor$$
1 przypadek: \(0 \leq x_1 + d_1 < 1\):
Następnie $$2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor \Leftrightarrow 2 x_0 = x_0 + d_0 \Leftrightarrow x_0 = d_0.$$
Oznacza to, że $$a = \lfloor x \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor d_0 + x_1 \rfloor = d_0$$ i $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ pierwsza $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ wieku, $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ .
2. przypadek: \( 1 \leq x_1 + d_1 < 2 \):
Następnie $$2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{\geq 1} \rfloor \Leftrightarrow 2 x_0 = x_0 + d_0 + 1 \Leftrightarrow x_0 = d_0 + 1.$$
Oznacza to, że $$a = \lfloor x \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor d_0 + 1 + x_1 \rfloor = d_0 + 1$$ i $$b = \lfloor x+d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + 1 + \underbrace{x_1 + d_1}_{\geq 1} \rfloor = 2 d_0 + 2$$ druga pożądana konstelacja wieku.
W szczególności oznacza to na przykład: Jeśli twoja matka urodziła cię w wieku \(20\) lat, jest dokładnie dwa razy większa od ciebie w wieku \(40\) i \(42\) lat. Ciekawe jest również, czy i kiedy jest \(n\) razy taka stara: Tutaj \(n \in \mathbb{N}\) arbitralnie i dostaje \(x_0 = \frac{d_0}{n-1} \in \mathbb{N} \Leftrightarrow d_0 = k (n-1)\) . Działa to dokładnie wtedy, gdy całkowita różnica wieku \( \lfloor d \rfloor = d_0 \) wielokrotnością \(n-1\) , np. W powyższym przypadku twoja matka ma \(24\) lata \(6\) razy twój wiek.