Oprócz dobrze znanego problemu z rycerzami i hetmanami, istnieje wiele innych ekscytujących pytań w świecie szachów. W poprzednim wpisie na blogu poruszyłem dwie małe ciekawostki. Jeśli zajmiesz się matematycznie problemami szachowymi, szybko odkryjesz, że matematyka dostarcza bardzo prostych i pouczających odpowiedzi na wiele pytań.
Jako przykład rozważę teraz następujący problem: Patrzysz na pustą, zwykłą szachownicę z 64 polami i kładziesz białą hetmana na dowolnej pozycji \((x,y)\) . Ile możliwych ruchów ma teraz hetman?
Korzystając z właściwości symetrii planszy, przekształcamy każdy punkt \( (x,y) \in \{1,2,3,4,5,6,7,8\} \times \{1,2,3,4,5,6,7,8\} \) w swoim odpowiedniku w lewej dolnej ćwiartce \( (x',y') \in \{1,2,3,4\} \times \{1,2,3,4\} \) i wybierz minimum \(z\) dwóch współrzędnych. W końcu otrzymujemy \(7\) poziomy, \(7\) pionowe i \( 7 + 2\cdot(z-1)\) możliwości po przekątnej, dlatego otrzymujemy:
\[ f:\{1,2,3,4,5,6,7,8\} \times \{1,2,3,4,5,6,7,8\}, \\ f(x,y) = 2 \cdot \min(-|x-4,5|+4,5; -|y-4,5|+4,5)+19 \]
Pochylony czytelnik może łatwo rozszerzyć problem na szachy o rozmiarze \(n^2\) .