Kleines Schachproblem

Neben dem bekannten Springerproblem und Damenproblem gibt es in der Welt des Schachs viele weitere spannende Fragestellungen. Zwei kleine Kuriositäten habe ich in einem vergangenen Blogeintrag angerissen. Setzt man sich mit Schachproblemen mathematisch auseinander, stellt man schnell fest, dass die Mathematik für viele Fragestellungen ganz einfache und erhellende Antworten gibt.


Exemplarisch behandle ich nun folgendes Problem: Man betrachte ein leeres, reguläres Schachbrett mit 64 Feldern und platziere eine weiße Dame an eine beliebige Position \((x,y)\). Wie viele mögliche Züge besitzt nun die Dame?

Unter Ausnutzung der Symmetrieeigenschaften des Bretts transformieren wir jeden Punkt \( (x,y) \in \{1,2,3,4,5,6,7,8\} \times \{1,2,3,4,5,6,7,8\} \) in sein im linken unteren Quadranten liegendes Pendant \( (x',y') \in \{1,2,3,4\} \times \{1,2,3,4\} \) und wählen daraus das Minimum \(z\) der beiden Koordinaten. Schließlich erhalten wir \(7\) horizontale, \(7\) vertikale sowie \( 7 + 2\cdot(z-1)\) diagonale Zugmöglichkeiten, weshalb sich damit ergibt:

\[ f:\{1,2,3,4,5,6,7,8\} \times \{1,2,3,4,5,6,7,8\}, \\ f(x,y) = 2 \cdot \min(-|x-4,5|+4,5; -|y-4,5|+4,5)+19 \]

Der geneigte Leser kann das Problem ohne Aufwand auf Schachbretter der Größe \(n^2\) ausweiten.

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