Помимо хорошо известной проблемы с конем и проблемой ферзя, в мире шахмат есть много других интересных вопросов. В предыдущей записи блога я затронул два небольших любопытства. Если вы решите шахматные задачи математически, вы быстро обнаружите, что математика дает очень простые и ясные ответы на многие вопросы.
В качестве примера я сейчас рассмотрю следующую проблему: вы смотрите на пустую обычную шахматную доску с 64 полями и помещаете белого ферзя в любую позицию \((x,y)\) . Сколько возможных ходов теперь у ферзя?
Используя свойства симметрии доски, мы преобразуем каждую точку \( (x,y) \in \{1,2,3,4,5,6,7,8\} \times \{1,2,3,4,5,6,7,8\} \) в своем аналоге в нижнем левом квадранте \( (x',y') \in \{1,2,3,4\} \times \{1,2,3,4\} \) и выберите минимум \(z\) двух координат. Наконец, мы получаем \(7\) горизонтали, \(7\) вертикали и \( 7 + 2\cdot(z-1)\) возможности по диагонали, поэтому это приводит к:
\[ f:\{1,2,3,4,5,6,7,8\} \times \{1,2,3,4,5,6,7,8\}, \\ f(x,y) = 2 \cdot \min(-|x-4,5|+4,5; -|y-4,5|+4,5)+19 \]
Наклонный читатель легко может разложить задачу на шахматные доски размера \(n^2\) .