I minispelet Bowser's Big Blast från Mario Party 2 och Mario Party Superstars väljer spelarna en switch en i taget. Exakt en strömbrytare utlöser en bomb, de andra är säkra. När du börjar med \(4\) spelare finns det \(5\) omkopplare. Den som trycker först förlorar med \(20\,\%\) ; Den sista personen som står framför endast \(2\) strömbrytare har \(50\,\%\) . Ändå har den sista platsen inte en högre sannolikhet för förlust. Den skenbara motsägelsen uppstår eftersom vi jämför sannolikheter vid olika tidpunkter.
Vi antar att sprängkapseln är jämnt fördelad mellan de fria strömbrytarna och inte är detekterbar. Den sista spelaren får bara sin tur om de första \(3\) spelarna har tryckt säkert, dvs bomben inte har exploderat. Chansen för detta är \(\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{5}=40\,\%\) . I de återstående \(60\,\%\) slutar omgången i förväg. Om du multiplicerar chansen att ens få en tur med den efterföljande risken får du samma \(20\,\%\) som för den första spelaren. Detta resulterar i den sista positionen:
$$\frac45\cdot\frac34\cdot\frac23\cdot\frac12=\frac15=20\,\%.$$
Med \(q\) betecknar vi sannolikheten att en given spelare är nästa som blir eliminerad, även efter hur många repetitioner som helst. I den första omgången finns det tre fall: Med \(1/5\) träffar den denna spelare. Med \(3/5\) träffar den en av de andra; vår spelare kommer då inte att elimineras härnäst. Med \(1/5\) överlever alla och switcharna återställs. Efteråt förblir situationen oförändrad, så den önskade chansen är igen \(q\) . Det är därför det gäller:
$$\begin{aligned}q&=\frac15+\frac15q,\\\frac45q&=\frac15\quad\Longrightarrow\quad q=\frac14.\end{aligned}$$
Efter nästa eliminering börjar de återstående spelarna igen på lika villkor. Chansen att överleva tills dess är \(3/4\) när man börjar med \(4\) spelare, sedan med \(3\) spelare \(2/3\) och slutligen med \(2\) spelare \(1/2\) . Om du multiplicerar dessa villkorade chanser att överleva får du \(25\,\%\) chans att vinna för den första och sista startpositionen. I allmänhet, med \(n\) spelare vinner alla med \(1/n\) . Färger hjälper inte i den rättvisa modellen. För totalsegern följer:
$$P(\text{Sieg})=\frac34\cdot\frac23\cdot\frac12=\frac14=25\,\%.$$
Bowser's Big Blast – Spiel und Wahrscheinlichkeiten von David Vielhuber auf CodePen.