В мини-игре Bowser's Big Blast из Mario Party 2 и Mario Party Superstars игроки выбирают переключатель по одному. Ровно один переключатель приводит в действие бомбу, остальные безопасны. При запуске с \(4\) игроками есть \(5\) переключателей. Тот, кто нажмет первым, проигрывает с разницей в \(20\,\%\) ; Последний человек, стоящий перед только \(2\) переключателями, имеет \(50\,\%\) . Тем не менее, последнее место не имеет большей вероятности проигрыша. Кажущееся противоречие возникает потому, что мы сравниваем вероятности в разные моменты времени.
Будем считать, что детонатор равномерно распределен среди свободных переключателей и не обнаруживается. Последний игрок получает свой ход только в том случае, если первые \(3\) игрока благополучно нажали, т. е. бомба не взорвалась. Вероятность этого равна \(\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{5}=40\,\%\) . В оставшихся \(60\,\%\) раунд заканчивается раньше. Если умножить шанс даже на получение хода на последующий риск, вы получите то же \(20\,\%\) что и для первого игрока. Это приводит к последней позиции:
$$\frac45\cdot\frac34\cdot\frac23\cdot\frac12=\frac15=20\,\%.$$
Через \(q\) мы обозначаем вероятность того, что данный игрок станет следующим, кого выбьют, даже после любого количества повторений. В первом раунде возможны три случая: При \(1/5\) он попадает в этого игрока. При \(3/5\) он попадает в одного из остальных; тогда наш игрок не вылетит следующим. При \(1/5\) все выживают, и переключатели сбрасываются. После этого ситуация остается неизменной, поэтому желаемый шанс снова равен \(q\) . Вот почему это применимо:
$$\begin{aligned}q&=\frac15+\frac15q,\\\frac45q&=\frac15\quad\Longrightarrow\quad q=\frac14.\end{aligned}$$
После очередного вылета оставшиеся игроки начинают заново на равных условиях. Шанс дожить до этого момента равен \(3/4\) если начать с \(4\) игроков, затем с \(3\) игроками \(2/3\) и, наконец, с \(2\) игроками \(1/2\) . Если умножить эти условные шансы на выживание, то получится \(25\,\%\) шанс на победу для первой и последней стартовых позиций. В общем, при \(n\) игроках каждый выигрывает при \(1/n\) . Цвета не помогают в честной модели. За общей победой следует:
$$P(\text{Sieg})=\frac34\cdot\frac23\cdot\frac12=\frac14=25\,\%.$$
Bowser's Big Blast – Spiel und Wahrscheinlichkeiten von David Vielhuber auf CodePen.