I minispillet Bowser's Big Blast fra Mario Party 2 og Mario Party Superstars vælger spillerne en switch én ad gangen. Præcis én kontakt udløser en bombe, de andre er sikre. Når man starter med \(4\) spillere, er der \(5\) kontakter. Den, der først trykker, taber med \(20\,\%\) ; Den sidste person, der står foran kun \(2\) kontakter har \(50\,\%\) . Ikke desto mindre har den sidste plads ikke større sandsynlighed for tab. Den tilsyneladende modsigelse opstår, fordi vi sammenligner sandsynligheder på forskellige tidspunkter.
Vi antager, at detonatoren er jævnt fordelt blandt de frie afbrydere og ikke kan detekteres. Den sidste spiller får kun sin tur, hvis de første \(3\) spillere har trykket sikkert, dvs. bomben ikke er eksploderet. Chancen for dette er \(\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{5}=40\,\%\) . I den resterende \(60\,\%\) slutter runden på forhånd. Hvis du gange chancen for selv at få en tur med den efterfølgende risiko, får du den samme \(20\,\%\) som for den første spiller. Dette resulterer i den sidste position:
$$\frac45\cdot\frac34\cdot\frac23\cdot\frac12=\frac15=20\,\%.$$
Med \(q\) angiver vi sandsynligheden for, at en given spiller er den næste, der bliver elimineret, selv efter et vilkårligt antal gentagelser. I første runde er der tre tilfælde: Med \(1/5\) rammer den denne spiller. Med \(3/5\) rammer den en af de andre; vores spiller bliver så ikke elimineret næste gang. Med \(1/5\) overlever alle, og kontakterne nulstilles. Bagefter forbliver situationen uændret, så den ønskede chance er igen \(q\) . Derfor gælder det:
$$\begin{aligned}q&=\frac15+\frac15q,\\\frac45q&=\frac15\quad\Longrightarrow\quad q=\frac14.\end{aligned}$$
Efter den næste eliminering starter de resterende spillere igen på lige vilkår. Chancen for at overleve indtil da er \(3/4\) når man starter med \(4\) spillere, derefter med \(3\) spillere \(2/3\) og til sidst med \(2\) spillere \(1/2\) . Hvis du multiplicerer disse betingede chancer for overlevelse, får du \(25\,\%\) chance for at vinde for den første og sidste startposition. Generelt, med \(n\) spillere, vinder alle med \(1/n\) . Farver hjælper ikke i den fair model. For den samlede sejr følger:
$$P(\text{Sieg})=\frac34\cdot\frac23\cdot\frac12=\frac14=25\,\%.$$
Bowser's Big Blast – Spiel und Wahrscheinlichkeiten von David Vielhuber auf CodePen.