Στο μίνι παιχνίδι Bowser's Big Blast από το Mario Party 2 και το Mario Party Superstars, οι παίκτες επιλέγουν έναν διακόπτη κάθε φορά. Ακριβώς ένας διακόπτης ενεργοποιεί μια βόμβα, οι άλλοι είναι ασφαλείς. Όταν ξεκινάτε με \(4\) παίκτες υπάρχουν διακόπτες \(5\) . Όποιος πατήσει πρώτος χάνει με \(20\,\%\) ; Το τελευταίο άτομο που στέκεται μπροστά από μόνο διακόπτες \(2\) έχει \(50\,\%\) . Ωστόσο, η τελευταία θέση δεν έχει μεγαλύτερη πιθανότητα απώλειας. Η φαινομενική αντίφαση προκύπτει επειδή συγκρίνουμε πιθανότητες σε διαφορετικές χρονικές στιγμές.
Υποθέτουμε ότι ο πυροκροτητής κατανέμεται ομοιόμορφα μεταξύ των ελεύθερων διακοπτών και δεν είναι ανιχνεύσιμος. Ο τελευταίος παίκτης παίρνει τη σειρά του μόνο εάν οι πρώτοι \(3\) παίκτες έχουν πατήσει με ασφάλεια, δηλαδή η βόμβα δεν έχει εκραγεί. Η πιθανότητα αυτού είναι \(\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{5}=40\,\%\) . Στο υπόλοιπο \(60\,\%\) ο γύρος τελειώνει εκ των προτέρων. Εάν πολλαπλασιάσετε την πιθανότητα να πάρετε ακόμη και μια σειρά με τον επόμενο κίνδυνο, θα έχετε το ίδιο \(20\,\%\) με τον πρώτο παίκτη. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα την τελευταία θέση:
$$\frac45\cdot\frac34\cdot\frac23\cdot\frac12=\frac15=20\,\%.$$
Με \(q\) συμβολίζουμε την πιθανότητα ένας συγκεκριμένος παίκτης να είναι ο επόμενος που θα αποκλειστεί, ακόμα και μετά από οποιονδήποτε αριθμό επαναλήψεων. Στον πρώτο γύρο υπάρχουν τρεις περιπτώσεις: Με \(1/5\) χτυπάει αυτόν τον παίκτη. Με το \(3/5\) χτυπάει ένα από τα άλλα. Ο παίκτης μας δεν θα αποκλειστεί στη συνέχεια. Με το \(1/5\) όλοι επιβιώνουν και οι διακόπτες επαναφέρονται. Στη συνέχεια, η κατάσταση παραμένει αμετάβλητη, επομένως η επιθυμητή πιθανότητα είναι και πάλι \(q\) . Γι' αυτό ισχύει:
$$\begin{aligned}q&=\frac15+\frac15q,\\\frac45q&=\frac15\quad\Longrightarrow\quad q=\frac14.\end{aligned}$$
Μετά τον επόμενο αποκλεισμό, οι υπόλοιποι παίκτες ξεκινούν ξανά επί ίσοις όροις. Η πιθανότητα επιβίωσης μέχρι τότε είναι \(3/4\) όταν ξεκινάμε με \(4\) παίκτες, μετά με \(3\) παίκτες \(2/3\) και τέλος με \(2\) παίκτες \(1/2\) . Εάν πολλαπλασιάσετε αυτές τις πιθανότητες επιβίωσης υπό όρους, έχετε \(25\,\%\) πιθανότητα να κερδίσετε για την πρώτη και την τελευταία αρχική θέση. Γενικά, με \(n\) παίκτες, όλοι κερδίζουν με \(1/n\) . Τα χρώματα δεν βοηθούν στο δίκαιο μοντέλο. Για τη συνολική νίκη ακολουθεί:
$$P(\text{Sieg})=\frac34\cdot\frac23\cdot\frac12=\frac14=25\,\%.$$
Bowser's Big Blast – Spiel und Wahrscheinlichkeiten von David Vielhuber auf CodePen.